04 Pravděpodobnost

• Dotazy k úloze Reversi
• Cvičení základních principů pravděpodobnosti, zopakování znalostí.

… a cvičení na práci s prostorem elementárních jevů.

V nějaké deskové hře se kostkou hází následujícím způsobem.

• Hodíme kostkou poprvé.
• Pokud na kostce padlo liché číslo, hodíme ještě podruhé.
• Hodnotou H takového házení je maximální číslo, které padlo (tj. sudé číslo, které padlo při prvním hodu, nebo větší z čísel z obou hodů, padlo-li poprvé liché číslo).

Jaká je střední (očekávaná) hodnota takového házení? Zkuste řešit nejprve teoreticky a následně simulací.

Návod:

1. Nejprve definujte prostor $\cal S$ elementárních jevů (výsledků experimentu).
2. Určete pravděpodobnosti elementárních jevů. Jsou všechny stejné? Jaký má být jejich součet? Je tato podmínka splněna?
3. Definujte náhodnou veličinu $H$, tj. určete, jakou reálnou hodnotu $H(s)$ přiřadí každému elementárnímu jevu $s \in \cal S$.
4. Jaký je support n. v. $H$? (Tj. které reálné hodnoty budou mít nenulovou pravděpodobnost?)
5. Definujte rozdělení pravděpodobnosti n.v. $H$, tj. určete hodnotu funkce $p_H(x)$ pro všechny hodnoty $x$.
6. Určete střední hodnotu $EH$ n. v. $H$.

Návod:

1. Vytvořte funkci, která bude vracet hodnotu jednoho hodu 1 nebo 2 kostkami podle výše uvedených pravidel.
2. Zjistěte výsledky mnoha takových hodů a spočtěte jejich aritmetický průměr.

Pokud vám zbyde čas, zkuste vyřešit simulací i další úlohy na pravděpodobnost, např.

• úlohu o dvou dcerách, z nichž jedna je narozená v pondělí;
• úlohu o screeningovém testu na nemoc X (zkuste náhodně generovat lidi, určete u nich, zda nemocí trpí nebo ne podle zadané pravděpodobnosti, určete, zda jim vyjde test pozitivní nebo negativní podle známých podmíněných pravděpodobností, a odhadujte, jaká čast z lidí, jimž vyšel test pozitivní, nemoc skutečně měla);
• úlohu o tom s jakou pravděpodobností student stihne autobus, pokud přichází na zastávku kdykoli mezi 6:58 a 7:02, zatímco autobus odjíždí kdykoli mezi 7:00 a 7:03;
  • “kdykoli” zde znamená, že máte předpokládat rovnoměrné rozdělení;
  • jak by se simulace změnila, kdyby se rovnoměrné rozdělení času příchodu studenta na zastávku a odjezdu autobusu změnilo např. na normální?