PCA: Parlament

(vytvořil Jan Čech 2016)

Veřejnosti je k dispozici záznam hlasování všech poslanců parlamentu. Celou historii hlasování je možné stáhnout na adrese poslanecké sněmovny.

Tato data jsme stáhli pro období od posledních voleb, takže máme záznamy všech elektronických hlasování v období 25.11.2013 až 21.10.2016. Data jsme následně převedli do formátu vhodného pro zpracování v Matlabu: poslanci.mat. Soubor obsahuje násldujíci datové struktury:

• H matice 200×6072, kde řádky reprezentují jednotlivé poslanecké mandáty a sloupce jednotlivá hlasování. Prvky této matice jsou: 1 hlasoval ANO, -1 hlasoval NE, 0 všechny ostatní případy (zdržel se, nehlasoval, nebyl přítomen).
• mandaty je struktura, která obsahuje položky: .jmeno, .strana, a další záznamy pro každý poslanecký mandát v pořadí odpovídajícím pořadí v matici H. Poznamenejme, že někteří poslanci byli z různých důvodů nahrazeni náhradníky. Pro tento případ jsou v položce .jmena uvedeni všichni poslanci, kteří tento mandát kdy vykonávali. Dále poznamenjme, že položka .strana neznamená nutně členství v politické straně, ale fakt, že byl poslanec zvolen na kandidátce politické strany.
• hlasovani je struktura obsahující detaily jednotlivých hlasování v pořadí odpovídajícím sloupcům matice H. Mimo jiné například položky .nazev, název hlasování, a .vysledek, což je výsledek hlasování pokud bylo přijato (A) nebo zamítnuto (R).

Jednotlivé poslanecké mandáty $\{a_1, \dots, a_{200}\}$, kde $a_i \in \bb R^{6072} $ je možné chápat jako body v prostoru hlasování. Chtěli bychom tento prostor vhodně vizualizovat. To uděláme tak, že body $a_i$ proložíme affinním podprostorem dimenze 2, tak aby součet kvadrátů vzdáleností původních $a_i$ a promítnutých bodů $a_i'$ byl minimální. Následně promítnuté body zobrazíme v souřadnicích báze nalezeného affinního podprostoru.

1. Formulujte optimalizační problém. [výstup: rovnice, slovní vysvětlení symbolů]
2. Vyřeště optimalizační problém. [výstup: symbolický zápis optimálního řešení, hodnota kriteria]
3. Najděte ortonormální bázi nalezeného affinního podprostoru $\mbox{span}\{a_1',\dots,a_{200}'\} + a_0$ a jednotlivé poslanecké mandáty zobrazte v souřadnicích této báze (jejíž vektory ztotožníte s osami 2D grafu). Zakreslené body obarvěte podle poslancovy strany. [výstup: graf]
4. Interpretujte výsledek. [výstup: stručné slovní hodnocení]

Vizualizovat tato data je možné i z opačného pohledu. Jednotlivá hlasování $\{b_1, \dots, b_{6072}\}$, kde $b_i \in \bb R^{200}$ jsou body v prostoru poslaneckých mandátů. Jednotlivá hlasování zobrazíme opět v prostoru dimenze 2.

1. Postupujte obdobně jako v minulém příkladu a zakreselete jednotlivá hlasování v souřadnicích ortonormální báze dimenze 2 prostoru proložení ve smyslu nejmenších čtverců. Výsledné body obarvěte podle toho, zda bylo hlasování přijato nebo zamítnuto. [výstup: graf]
2. Interpretujte výsledek. [výstup: stručné slovní hodnocení]
3. Je možné nalézt ortonormální bázi hledaného podprostoru a souřadnice promítnutých bodů v této bázi využitím výpočtu z předchozího úkolu? Pokud ano, vysvětlete. [výstup: slovní vysvětlení případně vzorce].