\[ \def\Re{{\mathbb R}} \]

Co potřebujete udělat:

• Přečtěte si zadání úlohy.
• Z gitlabu si stáhněte vstupní data pro tuto úlohu mzdy.txt a teplota.txt a šablony pro funkce wages_fit_model.m a temps_fit_model.m.
• Pro Úkol 1 (predikce mzdy):
  • Převeďte úlohu v rovnici (2) na úlohu v rovnici (3). Napište si, jak bude vypadat matice A a jak vektor b.
  • Implementujte funkci wages_fit_model.m, která ve smyslu rovnice (3) najde parametry x lineární funkce.
  • Načtěte si data pomocí kódu níže a zobrazte si tato data spolu s nafitovanou přímkou.

    Data = load('mzdy.txt', '-ascii'); 
    t = Data(:, 1); % years
    M = Data(:, 2); % wages

• Pro Úkol 2 (predikce teploty):
  • Převeďte úlohu v rovnici (5) na úlohu v rovnici (6). Napište si, jak bude vypadat matice A a jak vektor b.
  • Implementujte funkci temps_fit_model.m, která ve smyslu rovnice (6) najde parametry x hledané lineární funkce.
  • Načtěte si data pomocí kódu níže. Použijte naimplementovanou funkci pro odhad parametrů x a zobrazte si v jednom grafu vstupní data a odhadnutou funkci.

    Data = load('teplota.txt', '-ascii'); 
    t = Data(:, 1); % days
    T = Data(:, 2); % temperature measurements

• Vytvořte PDF soubor, ve kterém zodpovíte následující otázky:
  1. Jaká je hodnota odhadu $M_{2009/2}$ hrubé průměrné mzdy pro druhý kvartál roku 2009 (pro funkci odhadnutou z dat mzdy.txt)?
  2. Z grafu v obr. 2 je vidět, že závislost naměřených teplot zhruba odpovídá sinusoidě superponované na lineární funkci \[ \hat{G}(t) = y_0 + y_1 t + A \sin\left ( \omega t + \phi \right )\:. \] Lineární funkce $y_0 + y_1 t$ modeluje sklon sinusoidy daný např. globálním oteplováním. Perioda sinusoidy odpovídá $365$ dnům. Amplituda $A$ a fáze $\phi$ sinusoidy jsou neznámé. Neznámé parametry jsou tedy čísla $y_0, y_1, A\in\Re$ a $\phi\in(0,2\pi]$. Metodu lineárních nejmenších čtverců nelze pro takto definovanou funkci použít, protože hodnota odhadované funkce závisí na parametru $\phi$ nelineárně. My jsme namísto funkce $\hat{G}(t)$, použili funkci $\hat{T}(t)$ v rovnici (4), která závisí na všech svých parametrech lineárně. Fitování funkce $\hat{T}(t)$ lze ospravedlnit tím, že pro každou čtveřici $(y_0,y_1,A,\phi)$ existuje čtveřice $(x_0,\ldots,x_3)$ taková, že obě funkce jsou shodné, tj. že platí $\hat{T}(t) = \hat{G}(t)$, $\forall t\in\Re$. Vaším úkolem je toto tvrzení dokázat.

• Zabalte .m funkce a .pdf soubor do ZIP souboru a nahrajte je do upload systému. Udělejte ZIP soubor tak, aby se vaše soubory rozbalily rovnou do aktuálního adresáře, ne do nějakého podadresáře (jinak to nebude fungovat.)