Statistika 4

Na pracovní schůzce se svým šéfem - lékařem internistou dostáváte za úkol odhadnout co nejpřesněji glykémii (koncentraci glukózy v krvi [mmol/l]) u pacientů s určitou formou těžké cukrovky. Víte, že u zdravých lidí jsou hodnoty glykemie typicky v rozmezí cca 3-6 mmol/l, ale u pacientů s danou nemocí se očekává, že glykemie bude nabývat mnohem vyšších hodnot, u všech pacientů podobných. Lékaři odhadují, že směrodatná odchylka naměřených hodnot koncentrace glukózy u sledovaných pacientů je s=4 mmol/l. Prozatím máte k dispozici pouze jediné měření: $x_1$=11,3 mmol/l.

Vhodným způsobem graficky znázorněte rozložení pravděpodobnosti náhodné veličiny “glykémie u daných pacientů” a náhodné veličiny “průměr $n$ měření glykémie u daných pacientů”. Načtrtněte hustotu. Naznačte oblast A, pro kterou P(X v A)=95%. (Je oblast symetrická?) Interpretujte danou oblast.

Dále zkonstruujte 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu glykemie. Interpretujte daný interval. Jste spokojeni s jeho přesností? Dá se přesnost nějak zlepšit?

(Pokračování.) Na další schůzce jste seznámeni s požadavkem odhadnout glykémii u dané nemoci s danou přesností – s přesností na 1 desetinné místo. Kolik pacientů budete muset vyšetřit?

Na další schůzce je navrženo, abyste garantovali, že vzdálenost odhadu od skutečné hodnoty nebude větší než $0,1 mmol/l$. Spočtěte počet pacientů, které je třeba vyšetřit.

(Pokračování.) Na další schůzce je tedy požadováno, abyste alespoň garantovali, že vzdálenost odhadu od skutečné hodnoty nebude s pravděpodobností $95\%$ větší než $0,1 mmol/l$. Spočtěte počet pacientů, které je třeba vyšetřit.

(Pokračování.) Počet pacientů vypočítaný v minulém příkladě je v běžných podmínkách nereálný. Jaký odhad by se dal zkonstruovat v případě, že počet pacientů by byl 100-krát nižší?

(Intervalový odhad střední hodnoty při neznámém rozptylu.) Měření systolického krevního tlaku 15 osob dalo průměrnou hodnotu $116,3 mmHg$ a výběrovou směrodatnou odchylku $5,4 mmHg$. Vypočtěte $95\%$ interval spolehlivosti střední hodnoty krevního tlaku.

Jaký interval byste dostali, kdybyste hodnotu výběrové směrodatné odchylky považovali za pevnou?