Warning
This page is located in archive. Go to the latest version of this course pages.

V předchozím cvičení jsme se zabývali závislostí signálu jednoduché sekvence s opakovými RF pulsy na parameterech TR/TE. Průběh signálu jsme uvažovali pro jednu látku, bez prostorového umístění. Ostatně při této sekvenci bychom měřili jeden signál – celkové echo celého excitovaného objemu. Abychom získali 3D obraz, potřebujeme měřené echo prostorově zakódovat. To děláme pomocí gradientů, kterými se budeme zabývat v tomto cvičení.

Frekvenční gradient (frequency-encoding gradient) Pomocí cívek na vnějším plášti MR skeneru lze vytvořit gradient frekvenčního kódování $G_f$, což je doplňkové magnetické pole, které se přičítá k hlavnímu (statickému) poli $B_0$ (princip superpozice). Tento gradient začíná (ve smyslu osy $x$) na levé straně a lineárně roste směrem k pravé. Indukce (efektivní) celkového pole $B(x)$ pole tedy roste podél osy $x$ a tím pádem roste i spin a frekvence echa (Larmorova rovnost říká: $f = \gamma B(x)$. S timto kódováním jsme se setkali v předchozím cvičení, nastavovali jsme sílu přidaného gradientu tak, abychom daným pulsem excitovali pouze omezenou oblast osy $x$. Frekvenční gradient je aktivní během echa (resp. vyčítání signálu).

Fázový gradient (phase-encoding gradient) Opět použijeme lineární gradient $G_\phi$, kterým dočasně změníme rezonanční frekvenci ($\omega_1$ = $\gamma \cdot (B_0 + B_1) $). Po vypnutí gradientního pole se protony vrací zpátky ke své původní rezonanční frekvenci $\omega_0$, ale jejich fáze bude vůči výchozímu stavu posunuta. Velikost posunu je závislosti na síle a délce trvání $G_y$. Fázové kódování se zpravidla aplikuje podél osy $y$. Gradient fázového posunu se zapne a vypne před vytvořením echa.

K-prostor Je datová matice nad souřadnicemi $(k_x, k_y)$, někdy také dočasný obrazový prostor, kterou plníme vzorkováním signálu echa. Použitím frekvenčního a fázového kódování a definicí $k_x = -\gamma G_f t$ a $k_y = -\gamma G_\phi t$ získáváme souřadnici v reálném obrazu $x$ jako konjugovanou proměnnou k $k_x$, a obdobně pro $y$ a $k_y$. Díky tomu pak probíhá rekonstrukce MRI obrazu aplikací inverzní 2D-FFT.

Další informace jsou opět pěkně zpracovány na Q-MRI: prostorové kódování, přehledová stránka making an image, frekvenční a fázové kódování, k-prostor.

Lab 10 : Rekonstrukce obrazu (MRI)

Domácí cvičení

  1. [3 pt] Naprogramujte funkci [k_space,t]=encodingMRI(pho,T_1,T_2,T_r,T_e) která dostane jako vstupní parametrické mapy $\rho$, $T_1$ a $T_2$, a vrací matici K (matici k-prostoru). Jedna řádka matice K obsahuje signál echo nasnímaný (navzorkovaný) pro jeden fázový gradient.
  2. [2 pt] Pomocí skriptu get_nmr_phantom si vygenerujte parametrické mapy pro $T_1$, $T_2$ a $\rho$ (PD). Pro kombinace parametrů $TE, TR$ uvedené v tabulce níže:
    1. spočítejte matici $K$
    2. vykreslete matici $K$ (zobrazte amplitudu a použijte logaritmus pro převedení na stupně šedi)
    3. proveďte rekonstrukci obrazu pomocí inverzní FFT(2D) a také vykreslete.
    4. Jaké kombinace parametrů z tabulky vedou k $T_1$-, $T_2$- a $\rho$-váženému obrazu?
A B C
$TR$ 2500 ms 2500 ms 400 ms
$TE$ 90 ms 10 ms 90 ms

Parametrické mapy T1, T2 obsahují hodnoty v [ms], s časy TE a TR je rovněž potřeba pracovat v [ms]

Na vstupu máme tři matice pro parametry $\rho, T_1, T_2$, které získáme zavoláním funkce

[P_pd, P_t1, P_t2] = get_nmr_phantom(n);
. V dalším popisu budu pro odlišení řádek a sloupců používat $N, M$, ale generátor fantomu má pouze jeden parameter n, tedy platí $M = N = n$ a parametrické mapy jsou čtvercové.

Z parametrických map a z parametrů sekvence TE a TR pak na základě zjednodušené rovnice

$$U = \rho \cdot (1 - e^{-\frac{TR}{T_1}}) \cdot e^{-\frac{TE}{T_2}}$$

můžeme určit amplitudu měřeného signálu. Zde si musíme uvědomit, že echo $S(\omega, \phi)$, které lze popsat rovnicí

$$ S = U * \cos[\omega \cdot t + \phi] + \sqrt{-1} * sin [\omega \cdot t + \phi] $$

je souhrnný signál za celou excitovanou 2D-vrstvu. Tedy každý prostorový bod $(x, y)$ ovlivňuje hodnoty více (všech) bodů v k-prostoru $(k_x, k_y)$. Pro fixní fázový posun naplníme vzorkováním signálu jednu řádku matice $k$-prostoru, opakováním měření pro různé fázové posuny pak postupně naplníme všechny řádky.

Zdroj: http://www.mri-q.com/data-for-k-space.html

Prvním krokem bude diskretizace rovnice výše v proměnných $U$, $t$, $\omega$ a $\phi$, samozřejmě s využitím souvislostí mezi fází $\phi_m$ a prostorovu osou $y$ v $U$ a mezi frekvencí $\omega_m$ a osou $x$. Mějme na vstupu parametrické mapy o velikosti $N \times M$. Pak již můžeme určit:

pro frekvenční/fázové kódování

  • vektor diskrétních fází $\phi_n \in \langle 0, 2\pi)$, $n=1,..,N$ pro každý řádek obrázku.
  • vektor frekvencí pro kódování sloupců $\omega_m = 100 \cdot m$ [Hz] pro každý sloupec $m=1,...,M$.

pro diskretizaci signálu

  • vzorkovací frekvenci (minimálně dvojnásobek maximální frekvence, abychom se nedostali přes Nyquistův vzorkovací limit) $\Delta T = \frac{2\pi}{\max(\omega)}$
  • vektor vzorkovacích časů $t_s = (s-1) * \Delta T, \quad s=1,...,M$

Vzorkování signálu v nastavených samplovacích bodech $t_s$:

$$ K(r, t_s) = \sum_{i, j}^{N, M} U(i, j) \cos[\omega_j t_s + r \phi_i] + \sqrt{-1} \sin[\omega_j t_s + r \phi_i]$$

opakujeme pro každou řádku matice $K$. Nezapomeňte, že echo je vždy celkové echo z kompletní vrstvy, proto jedna hodnota K(r, t_s) závisí na součtu přes $N$ a $M$.

courses/zsl/labs2020_10_mrikspace.txt · Last modified: 2022/02/07 16:19 (external edit)