(Tomáš Werner, 2011)

Je dána množina $X\subseteq\R^n$ a zobrazení $\_f{:}\ X\to\R^m$. Cílem je spočítat pro toto zobrazení Taylorův polynom v daném bodě $\_x^*$ a poté vizualizovat zobrazení $\_f$ a Taylorův polynom. Způsob vizualizace se liší podle dimenzí definičního oboru a oboru hodnot, ale je vždy stejný pro zobrazení $\_f$ a pro Taylorův polynom.

Zopakujme (viz skripta):

• Pro zobrazení $\_f{:}\ X\to\R^m$ je Taylorův polynom prvního stupně v bodě $\_x^*$ zobrazení $\_T_1{:}\ X\to\R^m$ dané předpisem \[\_T_1(\_x) = \_f(\_x^*) + \_f'(\_x^*)\,(\_x-\_x^*),\] kde $\_f'(\_x^*)$ je totální derivace (Jacobiho matice) zobrazení $\_f$ v bodě $\_x^*$.
• Pro funkci $f{:}\ X\to\R$ je Taylorův polynom druhého stupně v bodě $\_x^*$ funkce $T_2{:}\ X\to\R$ daná předpisem \[T_2(\_x) = f(\_x^*) + f'(\_x^*)\,(\_x-\_x^*) + \frac12 (\_x-\_x^*)^T f''(\_x^*)\, (\_x-\_x^*),\] kde $f'(\_x^*)$ je totální derivace funkce $f$ v bodě $\_x^*$ (tj. řádkový vektor délky $n$) a $f''(\_x^*)$ je Hessova matice funkce $f$ v bodě $\_x^*$ (tj. symetrická matice $n\x n$ druhých parciálních derivací).
• Pro zobrazení $\_f{:}\ X\to\R^m$ je Taylorův polynom druhého stupně zobrazení $\_T_2{:}\ X\to\R^m$, jehož složky jsou funkce $T_2$ (uvedené výše) pro každou složku zobrazení $\_f$.

Podotkněme, že $\_T_1$ a $\_T_2$ přísně vzato nejsou polynomy, protože jsou to zobrazení a ne funkce.

Úlohu vypracujeme pro následující zobrazení:

1. $n=1$, $m=1$, $X=[-3,2]$, $f(x)=x^3/3+x^2/2-x$
2. $n=1$, $m=2$, $X=[0,2\pi]$, $\_f(x)=\mat{\cos x \\ \sin x}$
3. $n=2$, $m=1$, $X=[-2,2]\x[-2,2]$, $f(\_x)=f(x_1,x_2)=2\text{e}^{-\_x^T\_x}$ ($\text{e}$ značí Eulerovo číslo)
4. $n=2$, $m=3$, $X=[0,2\pi]\x[0,2\pi]$, $\_f(\_x)=\_f(x_1,x_2)=\mat{(R+r\cos x_2)\cos x_1\\(R+r\cos x_2)\sin x_1\\r\sin x_2}$
5. $n=2$, $m=2$, $X=[-1,1]\x[-1,1]$, $\_f(\_x)=\_f(x_1,x_2)=\_x\log(1+\_x^T\_x)$ ($\log$ značí přirozený logaritmus)
6. $n=1$, $m=3$, $X$ je jako v bodu 2, zobrazení je složením zobrazení z bodu 2 a zobrazení z bodu 4

Stáhněte si matlabské funkce prikladn.m zde. Číslo n odpovídá pořadí ve výše uvedeném seznamu. Každá funkce vizualizuje zobrazení $\_f$ žlutou barvou, definuje bod $\_x^*$ (označený jako xx) a nakreslí ho jako červené kolečko. Vaším úkolem je doplnit funkce T1 a T2, což jsou Taylorovy polynomy prvního a druhého řádu pro zobrazení $\_f$. Odkomentováním příslušných řádků se pak polynom prvního řádu zobrazí zeleně a polynom druhého řádu fialově.

Jako vzor jsme úlohu vypracovali pro zobrazení 1.

Pro zobrazení 6 (tj. složení zobrazení 2 a 4) vypracujte pouze polynom prvního řádu. Pro výpočet první totální derivace použijte řetězové pravidlo.

Kontrolou správnosti polynomů je to, že polynomy mají v bodě $\_x^*$ se zobrazením $\_f$ společnou hodnotu a první a druhou derivaci. Tedy polynom prvního řádu je vždy `tečný' k zobrazení a polynom druhého řádu je kvadratickou aproximací zobrazení.

Požadovaný výstup cvičení:

• Fungující doplněné funkce prikladn.m. Cvičící si odevzdané funkce pustí a z obrázku ihned uvidí, zda je vše v pořádku.
• Písemná zpráva, ve které budou vzorce pro Taylorovy polynomy každého zobrazení (nic jiného tam být nemusí).