Search
V předchozím cvičení jsme se zabývali závislostí signálu jednoduché sekvence s opakovými RF pulsy na parameterech TR/TE. Průběh signálu jsme uvažovali pro jednu látku, bez prostorového umístění. Ostatně při této sekvenci bychom měřili jeden signál – celkové echo celého excitovaného objemu. Abychom získali 3D obraz, potřebujeme měřené echo prostorově zakódovat. To děláme pomocí gradientů, kterými se budeme zabývat v tomto cvičení.
Frekvenční gradient (frequency-encoding gradient) Pomocí cívek na vnějším plášti MR skeneru lze vytvořit gradient frekvenčního kódování $G_f$, což je doplňkové magnetické pole, které se přičítá k hlavnímu (statickému) poli $B_0$ (princip superpozice). Tento gradient začíná (ve smyslu osy $x$) na levé straně a lineárně roste směrem k pravé. Indukce (efektivní) celkového pole $B(x)$ pole tedy roste podél osy $x$ a tím pádem roste i spin a frekvence echa (Larmorova rovnost říká: $f = \gamma B(x)$. S timto kódováním jsme se setkali v předchozím cvičení, nastavovali jsme sílu přidaného gradientu tak, abychom daným pulsem excitovali pouze omezenou oblast osy $x$. Frekvenční gradient je aktivní během echa (resp. vyčítání signálu).
Fázový gradient (phase-encoding gradient) Opět použijeme lineární gradient $G_\phi$, kterým dočasně změníme rezonanční frekvenci ($\omega_1$ = $\gamma \cdot (B_0 + B_1) $). Po vypnutí gradientního pole se protony vrací zpátky ke své původní rezonanční frekvenci $\omega_0$, ale jejich fáze bude vůči výchozímu stavu posunuta. Velikost posunu je závislosti na síle a délce trvání $G_y$. Fázové kódování se zpravidla aplikuje podél osy $y$. Gradient fázového posunu se zapne a vypne před vytvořením echa.
K-prostor Je datová matice nad souřadnicemi $(k_x, k_y)$, někdy také dočasný obrazový prostor, kterou plníme vzorkováním signálu echa. Použitím frekvenčního a fázového kódování a definicí $k_x = -\gamma G_f t$ a $k_y = -\gamma G_\phi t$ získáváme souřadnici v reálném obrazu $x$ jako konjugovanou proměnnou k $k_x$, a obdobně pro $y$ a $k_y$. Díky tomu pak probíhá rekonstrukce MRI obrazu aplikací inverzní 2D-FFT.
Další informace jsou opět pěkně zpracovány na Q-MRI: prostorové kódování, přehledová stránka making an image, frekvenční a fázové kódování, k-prostor.
Parametrické mapy T1, T2 obsahují hodnoty v [ms], s časy TE a TR je rovněž potřeba pracovat v [ms]
Na vstupu máme tři matice pro parametry $\rho, T_1, T_2$, které získáme zavoláním funkce
[P_pd, P_t1, P_t2] = get_nmr_phantom(n);
Z parametrických map a z parametrů sekvence TE a TR pak na základě zjednodušené rovnice
$$U = \rho \cdot (1 - e^{-\frac{TR}{T_1}}) \cdot e^{-\frac{TE}{T_2}}$$
můžeme určit amplitudu měřeného signálu. Zde si musíme uvědomit, že echo $S(\omega, \phi)$, které lze popsat rovnicí
$$ S = U * \cos[\omega \cdot t + \phi] + \sqrt{-1} * sin [\omega \cdot t + \phi] $$
je souhrnný signál za celou excitovanou 2D-vrstvu. Tedy každý prostorový bod $(x, y)$ ovlivňuje hodnoty více (všech) bodů v k-prostoru $(k_x, k_y)$. Pro fixní fázový posun naplníme vzorkováním signálu jednu řádku matice $k$-prostoru, opakováním měření pro různé fázové posuny pak postupně naplníme všechny řádky.
Prvním krokem bude diskretizace rovnice výše v proměnných $U$, $t$, $\omega$ a $\phi$, samozřejmě s využitím souvislostí mezi fází $\phi_m$ a prostorovu osou $y$ v $U$ a mezi frekvencí $\omega_m$ a osou $x$. Mějme na vstupu parametrické mapy o velikosti $N \times M$. Pak již můžeme určit:
pro frekvenční/fázové kódování
pro diskretizaci signálu
Vzorkování signálu v nastavených samplovacích bodech $t_s$:
$$ K(r, t_s) = \sum_{i, j}^{N, M} U(i, j) \cos[\omega_j t_s + r \phi_i] + \sqrt{-1} \sin[\omega_j t_s + r \phi_i]$$
opakujeme pro každou řádku matice $K$. Nezapomeňte, že echo je vždy celkové echo z kompletní vrstvy, proto jedna hodnota K(r, t_s) závisí na součtu přes $N$ a $M$.