Cvičení 3: Funkce

Ramanujan (1887-1920) byl velmi zajímavý geniální indický matematik. Byl objeven prof. Hardym a pozván do Anglie. Zde onemocněl a když ho prof. Hardy navštívil v nemocnici, řekl mu, že za ním přijel taxíkem číslo XXXX. Ramanujan mu okamžitě odpověděl, že je to velmi zajímavé číslo, protože je to nejmenší číslo, které lze zapsat dvěma různými způsoby jako součet dvou krychlí (třetích mocnin přirozených čísel).
Najděte čtyřciferné číslo taxíku XXXX.

Při programování často potřebujeme vykonat určité operace opakovaně. K tomu se hodí tzv. funkce.

Funkce je seskupení příkazů
Vstupem funkce jsou argumenty (jsou nepovinné)
Složitý problém se typicky rozdělí na jednodušší úkony, které se naprogramují do funkcí
Takový kód je snáze udržovatelný/čitelný
Funkce mohou obsahovat lokální proměnné, které “nejsou vidět” ve zbytku programu
V Pythonu se funkce definují klíčovým slovem def a tělo funkce (vnitřní příkazy) jsou odsazeny

def jmenoFunkce( parametry ):
   telo_funkce

Maximum ze dvou čísel:

def maximum(x,y):
    if x>y:
        return x
    else:
        return y

max = maximum(2,0.5)
print(max)
 
# nebo rovnou muzeme predat jiné funkci
a = 6
b = 7
print("Maximum z ",a," a ", b, " je ", maximum(a,b))

Parametry jsou nepovinné. Funkci bez parametrů definmujeme s prázdnými závorkami

def hello():
    print("Hello World!")

V tomto případě funkce ani nevrací žádnou hodnotu (pouze vypíše řetězec), není tedy třeba volat return
Volání funkce bez parametrů

hello()

Funkce v Pythonu mohou vracet více parametrů
Příklad: funkce vracející maximum ze dvou čísel, s informací o tom, jestli maximem je 1. nebo 2. argument

def maximum2(x,y):
    if (x > y):
        return x, True
    else:
        return y, False

maxValue, info = maximum2(5,6)
 
#zkusime predat printu:
print("Maximum z 5,6 je ", maximum2(5,6))

if (spatny_vstup):
    quit()

Napište funkci s jedním argumentem, která vrací absolutní hodnotu tohoto argumentu

Sexy prime jsou takové dvojice prvočísel, jejichž (kladný) rozdíl je 6. Například 5 a 11 jsou prvočísla a zároveň se liší o 6, tedy dvojice (5,11) jsou tzv. sexy-primes.
Napište program, který vypíše všechny takové dvojice menší než 1000.

Dokonalé číslo je takové číslo, které je součtem všech svých dělitelů (kromě sebe samotného samozřejmě).
Například číslo 6 je dokonalé, neboť 6 = 1 + 2 + 3, kde 1,2,3 jsou dělitelé čísla 6.
Napište program, který vypíše všechna dokonalá čísla od 1 do 10000.

Super-dokonalá čísla jsou zobecněním dokonalých čísel.
Číslo $n$ je super-dokonalé, pokud platí $f(f(n)) = 2n$, kde $f(n)$ je součet dělitelů čísla $n$ od 1 do $n$ (včetně $n$).
Například pro číslo 4: dělitelé jsou $1,2$ a $4$, tedy $f(4)=1+2+4=7$. Dělitelé 7 jsou 1 a 7, tedy $f(7)=1+7=8$, což je $2\times4$. Číslo 4 je tedy super-dokonalé.
Napište funkci soucet_delitelu, která spočte součet dělitelů čísla $n$, tedy funkci $f(n)$.
Funkci soucet_delitelu použijte v programu, který vypíše seznam super-dokonalých čísel od 1 do 10000.

Napište funkce gcd1(a,b) a gcd2(a,b), které vrátí největšího společného dělitele čísel $a$ a $b$.
Funkce gcd1 bude počítat největšího společného dělitele čísel $a$ a $b$ takto:
- Dokud a není rovno b
  - Je-li a větší než b
    - a = a-b
  - jinak
    - b = b-a
- a i b jsou největší společný dělitel původních čísel
Funkce gcd2 bude počítat největšího společného dělitele čísel následovně:
- Dokud b není rovno nule
  - t = b
  - b = a mod b
  - a = t
- a je největší společný dělitel původních čísel
Zjistěte kolik kroků potřebuje gcd1 a gcd2 pro spočtení největšího společného dělitele 6997193,18992381 a dvojice 361,18992381

Napište program pro realizaci tzv. Césarovy šifry
Vstup: dvě řádky
- 1. řádka: textový řetězec (pouze písmena a mezery)
- 2. řádka: číslo definující posunutí písmen v Césarově šifře
Program na výstup vypíše vstupní řetězec zašifrovaný posunutím písmen o zadanou hodnotu
Ascii hodnota znaku se získá funkcí ord('A'), opačně znak z celého čísla získáte funkcí chr(65)
Je nutné posouvat velká písmena na velká písmena, malá písmena na malá písmena a mezeru ponechat jako mezeru

Témata k procvičení

month=['leden','unor','brezen','duben','kveten','cerven','cervenec','srpen','zari','rijen','listopad','prosinec']

Napište program, který porovná dvě funkce a(x,y,z) a b(x,y,z) se třemi logickými proměnnými a zjistí, zda výrazy jsou ekvivalentní, případně vypíše pro jaké kombinace vstupů se výstupy liší. Porovnejte následující funkce:

def a(x,y,z):
    return (x and y) or (not y and z)
 
def b(x,y,z):
    return x or z

Napište funkci, která vypisuje 1,-1,1,-1 …
Napište funkci, která vypisuje výsledek operace $(-1)^k$ pro $k=0,\ldots,100$. Zamyslete se nad rychlostem výpočtu, navrhněte alternativní postupy
Napište funkci min(a,b), která vrací minimum z těchto dvou prvků (proměnné jsou čísla).
Napište funkci max(a,b)
Napište funkci area(radius), která vypočítá obsah kruhu o zadaném poloměru
Napište funkci d2r(angle), která převede stupně na radiány “degrees to radians = d2r”
Napište funkci r2d(angle), která převede radiány na stupně
Napište funkci normalize(angle), která převede zadaný úhel (v radiánech) do intervalu $<0, 2\pi)$
Napište funkci pro výpis pole:
- s využitím cyklu for
- s využitím cyklu while

Rozšiřte program na výpočet Sexy-prvočísel tak, aby vypisoval trojice prvočísel, které se od sebe liší o 6 - taková trojice je např. (5,11,17).
Dále rozšiřte tento program pro výpočet čtveřic (např. (61,67,73,79) ).