04 Pravděpodobnost
Bonusový kvíz
… a cvičení na práci s prostorem elementárních jevů.
Náhodná proměnná, střední hodnota
V nějaké deskové hře se kostkou hází následujícím způsobem.
Hodíme kostkou poprvé.
Pokud na kostce padlo liché číslo, hodíme ještě podruhé.
Hodnotou H takového házení je maximální číslo, které padlo (tj. sudé číslo, které padlo při prvním hodu, nebo větší z čísel z obou hodů, padlo-li poprvé liché číslo).
Jaká je střední (očekávaná) hodnota takového házení? Zkuste řešit nejprve teoreticky a následně simulací.
Teoretické řešení
Návod:
Nejprve definujte prostor $\cal S$ elementárních jevů (výsledků experimentu).
Určete pravděpodobnosti elementárních jevů. Jsou všechny stejné? Jaký má být jejich součet? Je tato podmínka splněna?
Definujte náhodnou veličinu $H$, tj. určete, jakou reálnou hodnotu $H(s)$ přiřadí každému elementárnímu jevu $s \in \cal S$.
Jaký je support n. v. $H$? (Tj. které reálné hodnoty budou mít nenulovou pravděpodobnost?)
Definujte rozdělení pravděpodobnosti n.v. $H$, tj. určete hodnotu funkce $p_H(x)$ pro všechny hodnoty $x$.
Určete střední hodnotu $EH$ n. v. $H$.
Řešení simulací
Návod:
Vytvořte funkci, která bude vracet hodnotu jednoho hodu 1 nebo 2 kostkami podle výše uvedených pravidel.
Zjistěte výsledky mnoha takových hodů a spočtěte jejich aritmetický průměr.
Pravděpodobnost a simulace
Pokud vám zbyde čas, zkuste vyřešit simulací i další úlohy na pravděpodobnost, např.
úlohu o dvou dcerách, z nichž jedna je narozená v pondělí;
úlohu o screeningovém testu na nemoc X (zkuste náhodně generovat lidi, určete u nich, zda nemocí trpí nebo ne podle zadané pravděpodobnosti, určete, zda jim vyjde test pozitivní nebo negativní podle známých podmíněných pravděpodobností, a odhadujte, jaká čast z lidí, jimž vyšel test pozitivní, nemoc skutečně měla);
úlohu o tom s jakou pravděpodobností student stihne autobus, pokud přichází na zastávku kdykoli mezi 6:58 a 7:02, zatímco autobus odjíždí kdykoli mezi 7:00 a 7:03;
“kdykoli” zde znamená, že máte předpokládat rovnoměrné rozdělení;
jak by se simulace změnila, kdyby se rovnoměrné rozdělení času příchodu studenta na zastávku a odjezdu autobusu změnilo např. na normální?