Cvičení 4

Odhadněte co nejpřesněji glykémii (koncentraci glukózy v krvi [mmol/l]) u určité skupiny pacientů s těžkou cukrovkou. Víme, že u zdravých lidí jsou hodnoty glykemie typicky v rozmezí cca 3-6 mmol/l, ale u pacientů lze očekávat mnohem vyšší hodnoty. Lékaři odhadují, že směrodatná odchylka naměřených hodnot koncentrace glukózy u sledovaných pacientů je s=4 mmol/l. Prozatím máme k dispozici pouze jediné měření: $x_1$=11,3 mmol/l.

Vhodným způsobem graficky znázorněte rozložení pravděpodobnosti náhodné veličiny glykemie a náhodné veličiny “průměr $n$ měření glykemie”. Načtrtněte hustotu. Naznačte oblast A, pro kterou P(X v A)=95%. (Je oblast symetrická?) Interpretujte danou oblast.

Dále zkonstruujte 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu glykemie. Interpretujte daný interval. Dá se přesnost nějak zlepšit?

(Pokračování.) Na další schůzce jste seznámeni s požadavkem naměřit glykémii s danou přesností – s přesností na 1 desetinné místo.

Na další schůzce je navrženo, abyste garantovali, že vzdálenost odhadu od skutečné hodnoty nebyla větší než 0,1. Spočtěte počet pacientů, které je třeba vyšetřit.

(Pokračování.) Na další schůzce je tedy požadováno, abyste garantovali, že vzdálenost odhadu od skutečné hodnoty nebude s pravděpodobností $95\%$ větší než $0,1$. Spočtěte počet pacientů, které je třeba vyšetřit.

(Pokračování.) Počet pacientů vypočítaný v minulém příkladě je v běžných podmínkách nereálný. Jaký odhad by se dal zkonstruovat v případě, že počet pacientů by byl 100-krát nižší?

(Intervalový odhad střední hodnoty při neznámém rozptylu.) Měření systolického krevního tlaku 15 osob dalo průměrnou hodnotu $116,3 mmHg$ a výběrovou směrodatnou odchylku $5,4 mmHg$. Vypočtěte $95\%$ interval spolehlivosti střední hodnoty krevního tlaku.

Jaký interval byste dostali, kdybyste hodnotu výběrové směrodatné odchylky považovali za pevnou?