Pozitronová emisní tomografie - měření dat

Pozitronová emisní tomografie je zobrazovací metoda nukleární medicíny. Tomografický obraz je rekonstruován díky současné detekci dvou fotonů, které byly vyzářeny při anihilaci pozitronu vzniklého při rozpadu radiofarmaka v pacientově těle. Názorný popis principu PET najdete na webu Principy PET

Úkolem následujícího cvičení je demonstrovat tvorbu signálu v pozitronové emisní tomografii. Potřebná data a kódy si stáhněte zde.

1. Určete počet (analyticky i numericky) rozpadlých částic po dobu měření (viz přednáška nebo část Tvorba signálu a jeho měření). [0.5b.]
   • ve 30. minutě byla podána látka pacientovi,
   • ve 35. minutě začal být pacient snímán,
   • ve 39. minutě skončilo snímání pacienta,
   • množství podaného radiofarmaka je 5e-12 molu,
   • poločas rozpadu dané látky je 110 minut
2. Vytvořte funkci [deltaN,detPair]=petMeasure(fantom,ti,tb,te,Nd,r,n,sigma2,taur), kde vstupem vaší funkce bude virtuální fantom reprezentující aktivitu v každém pixelu a další parametry měření. Fantom si vytvořte pomocí funkce phantom(p_def); a matice definující fantomy, které jsou v souboru ph_def.mat (který jste si stáhli již dříve). Ke každé veličině jsou v závorkách uvedeny hodnoty, které použijete (více viz popis v Tvorba signálu a jeho měření). [3b.]
   • deltaN - počet rozpadlých částic po celou dobu snímán pacienta
   • detPair - mřížka s kumulovanými počty rozpadů pro každou kombinaci dvojic detektorů (stejná velikost jako je počet detektorů [Nd Nd])
   • fantom - fantom koncentrace radiofarmaka (obrázek o velikosti [128 128])
   • ti - čas ve kterém byla látka pacientovy podána (30. minuta)
   • tb - čas kdy se začal pacient snímat (35. minuta)
   • te - čas kdy skončilo snímání pacienta (39. minuta)
   • Nd - počet detektoru na celém obvodu kružnice (100)
   • r - poloměr kružnice na které jsou rozmístěny detektory (pro celý fantom)
   • n - množství podaného radiofarmaka (5e-12 molu)
   • sigma2 - rozptyl, jak daleko doletí částice před svým rozpadem (3px)
   • taur - poločas rozpadu dané látky (110 minut)
3. Do reportu vložte obrázek hustoty rozpadů (detPair) vytvořený z fantomu aktivit a symetrické matice detPair (pro číselnou reprezentaci jednotlivých barevných odstínů použijte funkci colorbar). [0.5b.]
4. Rekonstruujte naměřenou matici detPair funkcí PETreconstruction(detPair,r,Nd); kterou jste si stáhli na začátku cvičení. Spočtete a visualizujte relativní chybu mezi rekonstruovaným fantomem z vašeho měření a originálním fantomem. [1b.]

Funkce které jste si stáhli na začátku cvičení neodevzdávejte.

Naprogramujte funkci, která vypočítá výstup měřícího prstence PET. Vstupem funkce nechť je čas podání radiofarmaka <latex>T_i</latex> [s], čas začátku měření <latex>T_b</latex> [s], čas konce měření <latex>T_e</latex> [s], počet detektorů D, poloměr detektorové kružnice r[px], rozptyl pozitronů <latex>\sigma^2</latex> [px], množství n[mol], poločas rozpadu radiofarmaka <latex>\tau_r</latex> [s] a fantom aktivit (relativní distribuce radiofarmaka v těle pacienta, pro absolutní roložení celý fantom znormujeme, aby součet byl 1 a vynásobíme celkovám počtem čozpadlých částic <latex>\Delta N?</latex>). Výstupem pak bude matice současně aktivovaných detektorů R která má na souřadnici [i,j] počet současných detekcí elementy číslo i a j a celkový počet měřených rozpadů <latex>\Delta N</latex> . Získaná data si můžete rekonstruovat pomocí funkce activity=PETreconstruction(detPair,r,Nd) ze staženého balíčku.

Předpokládejme že v čase <latex>t=0</latex> bylo vyrobeno radiofarmakum, které pak bylo v čase <latex>T_i</latex> podáno pacientovi.

Počet vyrobených molekul je <latex>N_0 =n \cdot N_A</latex>,kde <latex>N_A</latex> je Avogadrova konstanta <latex>N_A=6.0221415\cdot 10^{23} \textrm{mol}^{-1}</latex>, ale v čase <latex>T_i</latex> se už část radioizotopu rozpadla.

Uvažujme, že za čas <latex>dt</latex> se v látce rozpadne <latex>dN</latex> částic <latex>-\ud N=\lambda_r N \ud t \label{difeq}</latex>, kde <latex>\lambda_r</latex> je rozpadová konstanta <latex>\lambda_r=\frac{\ln{2}}{\tau_r}</latex>. Řešením rovnice je známá exponenciální závislost počtu izotopů na čase <latex>N_1=N_0\textrm{e}^{-\lambda_r t}</latex>.

Než se dostane radioaktivní látka do místa určení (často je podávána systémově, například intravenózně), uplyne nějaký čas, proto zahájíme měření až v <latex>T_b</latex>.

Protože je však aktivní látka od času <latex>T_i</latex> do konce experimentu v lidském těle, začne se zákonitě vylučovat. Naše úloha však bude simulovat měření pomocí fludeoxyglukózy (FDG), která je analogem glukózy s inkorporovaným atomem fluóru 18, který se rozpadá za vzniku pozitronu.

Přibližně 75% FDG je zachyceno ve tkáni a rozpadá se s <latex>\tau_r=110</latex> min, 25% látky se vyloučí ledvinami s <latex>\tau_v=16</latex> min. To je samozřejmě možné modelovat, ale vzhledem ke krátkému <latex>\tau_v</latex> a známému poměru zachyceného a vyloučeného radiofarmaka si můžeme práci zjednodušit (při zachování dostatečné přesnosti) a uvažovat jen 75% molekul radiofarmaka.

Každý z rozpadajících se atomů vyzáří pozitron, který se pohybuje náhodným směrem tkání a poté co ztratí svou kinetickou energii, anihiluje s elektronem hmoty. Při tom vzniknou dva fotony s energií přibližně 511 keV, vzdalující se od místa srážky na opačné strany po náhodně orientované přímce. Pokud dvojice fotonů poletí podél osy pacientova těla, nemá pro náš zobrazovací systém význam. Z geometrického uspořádání je jasné, že našeho myšleného prstencového detektoru dosáhne jen malá část záření.

Uvažujme pacienta vysokého 180 cm, z něhož pořizujeme přibližně 5 mm řez. Pokud by bylo radiofarmakum zachycováno rovnoměrně podél osy pacientova těla, pak v našem řezu zůstane přibližně 5/1800 částic. Toto zjednodušeni nám výrazně usnadní práci, při zachování řádové přesnosti.

Náš detektor je tenký prstenec kolmý k ose pacienta a z toho je jasně patrné, že nemůže zachytit fotony, jejichž dráha není téměř kolmá k pacientovu tělu. Takové dvojice fotonů minou detektor a jsou z našeho pohledu nepodstatné, protože nepřispívají k tvorbě obrazu. Definujme že rozdílový úhel (mezi rovinou detektoru a dráhou fotonů) může být maximálně <latex>1^\circ</latex> , detektor tedy zasáhnou jen 2/180 fotonů vzniklých v řezu.

1. Rozdělte kružnici opsanou fantomu (s poloměrem r a středem uprostřed fantomu/obrázku) na <latex>D</latex> částí (detektorů). Detektory číslujte od jedničky (standard Matlabu) proti směru hodinových ručiček od úhlu <latex>\alpha=0</latex> viz obrázek.
2. Vypočítejte kolik atomů radioizotopu se rozpadne za měřený interval v jedné vrstvě pacientova těla. Korigujte toto číslo pro dráhy fotonů mířící mimo detektor (výsledkem je <latex>\Delta N</latex> ). Rozdělte spočtené rozpady podle fantomu (vynásobte fantom normalizovaný na jednotkový součet celkovým počtem rozpadů).
3. Pro každý rozpad určete:
   • směr letu pozitronu a vzdálenost anihilace, předpokládejte že místo anihilace je určeno Gaussovou funkcí s diagonální kovarianční maticí. Oba prvky diagonály nechť jsou <latex>\sigma^2</latex> px (tento náhodný jev se dá snadno modelovat pomocí filtrace fantomu Gaussovským filtrem s danou kovarianční maticí. Filtr vytvoříte snadno pomocí funkce fspecial a aplikujete ho na data pomocí imfilter),
   • směr letu fotonů (každému rozpadu přiřaïte náhodné číslo od 0 do <latex>\pi</latex> ),
   • průsečík trajektorie fotonů s detektorovou kružnicí (určete které detektory zachytily letící fotony),
   • vytvořte výstupní matici <latex>R</latex> funkce o rozměrech <latex>[D\times D]</latex>, která bude obsahovat počet excitací pro každou dvojici synchronně aktivovaných detektorů.
4. Naprogramovanou funkci vyzkoušejte na fantomu aktivit s parametry (viz Zadání), poloměr detektorové kružnice volte tak, aby přesně opsala čtverec fantomu (<latex>r=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{ m^2 + n^2 }</latex> kde m,n jsou velikosti obrázku/fantomu).

Jelikož se při tvorbě PET signálu uplatňují náhodné jevy, bude i matice R pro každý experiment mírně odlišná. Příklad 300 vybraných paprsků pro obrázek se čtyřmi hot-spoty můžete vidět na obrázku, kde je fantom se 4 body vykazujícími <latex>\beta^+</latex> rozpad (po jednom v levém a pravém rohu a dva uprostřed). Vlevo—zelenou čarou je vyznačena kružnice detektorů, zobrazeno je pouze 300 paprsků. Vpravo—průhlednost jednotlivých pásů určených dvojicí detektorů odpovídá počtu zachycených rozpadů v tomto pásu. Tmavší odstíny odpovídají více detekcím.