Statistika 1

Program:

  • Organizace cvičení
  • Jak odevzdávat domácí úkoly
  • Opakování: pravděpodobnost

Domácí úkol 1

Organizace cvičení

Jak odevzdávat domácí úkoly

Opakování: pravděpodobnost

Náhodný jev (elementární jev, prostor elementárních jevů)

Ilustrační příklad: házení kostkou, jev “padne liché číslo”

Pravděpodobnost (funkce definovaná na podmnožinách prostoru elementárních jevů)

Nezávislost náhodných jevů

Alice: “Bobe, jak je pravděpodobné, že tu zkoušku oba uděláme?”

Bob: “Řekl bych 70%.”

Alice: “Ale včera si tvrdil, že ji na 90% uděláš a že já jsem na tom stejně?!”

Bob: “No a?”

Alice: “To není možné, a jestli to nevidíš, tak tu zkoušku asi neuděláš!”

Házení kostkou. Jev A: padne liché číslo, jev B: padne číslo větší než 3.

Jsou jevy A a B nezávislé?

Házení dvěma kostkami.

Jev A: na první kostce padne liché číslo.

Jev B: na druhé kostce padne sudé číslo.

Jev C: součet čísel na obou kostkách je sudý.

Jsou tyto 3 jevy nezávislé?

Jsou tyto jevy po dvou nezávislé?

Podmíněná pravděpodobnost

Tenista má první podání úspěšné s pravděpodobností 0,6, druhé s pravděpodobností 0,8. S jakou pravděpodobností se dopustí dvojchyby?

Úplná pravděpodobnost

Ilustrační příklad: průměrné zastoupení studentek ve škole (2 posluchárny, 2 šatny, v každé jiné zastoupení dívek).

Bayesův vzorec

Klinický test, jehož účelem je odhadnout, zda pacient má určitou nemoc, má senzitivitu (pst toho, že u nemocného bude test pozitivní) 90% a specificitu (pst toho, že u zdravého bude test negativní) 95%. Spočítejte pravděpodobnost toho, že pacient s pozitivním testem nemoc skutečně má, a dále pravděpodobnost toho, že pacient s negativním testem nemoc skutečně nemá. Předpokládejme, že nemocí trpí 20% populace.

V obléhaném městě nepřítel kontaminoval jedem 10% vodovodů. Obyvatelé v postižených oblastech jsou v 90% otrávení (krom těch, kteří se vody zatím nenapili). Ve zbylých částech města je otrávených pouze 10% obyvatel (patrně z jiných zdrojů, než z vody). Jednomu obyvateli se z města podaří tajnou chodbou uniknout, avšak záhy umírá – byl otráven. Dá se odhadnout, zda tajná chodba vede do otrávené, nebo neotrávené části města? Jak se tato pravděpodobnost změní, vyjde-li z chodby další otrávený?

Náhodná veličina

Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny

Načtrtněte rozdělení pravděpodobnosti počtu líců při hodu mincí.

Načtrtněte rozdělení pravděpodobnosti počtu ok při hodu kostkou.

Načtrtněte rozdělení pravděpodobnosti počtu líců při dvou nezávislých hodech mincí.

Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny

Určuje $f_X(x) = sin(x) \text{ pro } 0\le x \le \pi$ hustotu pravděpodobnosti nějaké náhodné veličiny?

Určuje $f_X(x) = 2-x \text{ pro } 0\le x \le 2+\sqrt{2}$ hustotu pravděpodobnosti nějaké náhodné veličiny?

Načtrtněte hustotu pravděpodobnosti a distribuční funkci rovnoměrného rozdělení na intervalu $(a,b)$.

Distribuční funkce náhodné veličiny

Načtrtněte distribuční funkci rozdělení pravděpodobnosti počtu líců při hodu mincí.

Načtrtněte distribuční funkci rozdělení pravděpodobnosti počtu ok při hodu kostkou.

Načtrtněte distribuční funkci rozdělení pravděpodobnosti počtu líců při dvou nezávislých hodech mincí.

Kvantilová funkce náhodné veličiny

Je dáno $p(X \le x)=x$ pro $0 \le X \le 1$. Odvoďte a načtrtněte distribuční funkci $F_X$, hustotu $f_X$ a kvantilovou funkci $F_X^{-1}$.

Je dáno $f_X(x) = 3x$ pro $0 \le X \le 1$. Odvoďte a načtrtněte distribuční funkci $F_X$, $p(X \le x)$ a kvantilovou funkci $F_X^{-1}$.

Je dáno $f_X(x) = 2x$ pro $0 \le X \le 1$. Odvoďte a načtrtněte distribuční funkci $F_X$, $p(X \le x)$ a kvantilovou funkci $F_X^{-1}$.

V lese zakresleném na mapě jako rovnostranný trojúhelník o straně 30km se ztratilo dítě. Na záchranu se vypravily tři rojnice, z každé strany lesa jedna, které dokáží prohledat terén rychlostí 500 m/hodinu.

Za jak dlouho dítě najdou?

Za jak dlouho bude pravděpodobnost, že dítě našli, stejná, jako že dítě ještě nenašli?

Za jak dlouho bude pravděpodobnost, že dítě našli, rovna 75%, resp. 95%?

(Použití tabulek kvantilů a kritických hodnot)

Hmotnost vyráběné pilulky lze popsat normálním rozdělením se střední hodnotou 120mg a rozptylem 1mg. Výstupní kontrola testuje, zda tomu tak skutečně je tak, že “rozumně” velký náhodný vzorek pilulek byl zvážen a setříděn podle narůstající hmotnosti.

V jakém rozmezí lze čekat hmotnost 10% resp. 1% resp. 0,1% nejlehčích pilulek?

V jakém rozmezí asi bude hmotnost 10% resp. 1% resp. 0,1% nejtěžších pilulek?

Jaká je pravděpodobnost, že nalezneme pilulku o hmotnosti 120mg?

Jaká je pravděpodobnost, že nalezneme pilulku těžší než 120mg?

Jaká je pravděpodobnost, že nalezneme pilulku těžší než 123mg?

Jaká je pravděpodobnost, že nalezneme pilulku o hmotnosti nižší než 117,5mg?

Střední hodnota náhodné veličiny

Jaký očekáváte průměrný počet ok při hodu kostkou?

(Tj. spočtěte střední hodnotu odpovídající náhodné veličiny.)

Vypočtěte střední hodnotu náhodné veličiny dané jako výsledek hodu falšovanou mincí, u níž panna padá 2x častěji, než orel. (Předpokládejme, že pannu reprezentujeme jako 0 a orla jako 1.)

Spočtěte střední hodnotu náhodné veličiny z rovnoměrného rozdělení na intervalu $(0, 1)$.

Rozptyl náhodné veličiny

Spočtěte rozptyl náhodné veličiny popisující výsledek hodu (nefalšovanou) mincí.

Spočtěte rozptyl náhodné veličiny z rovnoměrného rozdělení na intervalu $(0, 1)$.

Jazyk R

Oficiální intro. Interaktivní intro např. zde.

courses/a6m33ssl/cviceni/statistika_1.txt · Last modified: 2018/02/19 15:01 by xposik