Cvičení 2: Cykly a reálná aritmetika

• Napište program, který načte celé číslo udávající časový interval ve vteřinách a vypíše kolik je to dní, hodin, minut a vteřin.
• Tedy pokud bude vstup 100000 pak vypíše: den 1 hodin 3 minut 46 vterin 40

• Napište program, který vypočítá rozdíl dvou časů zadaných ve formátu: HH:MM:SS

Základní druhy cyklů

• for cyklus - procházení seznamu hodnot
• while cyklus - opakuj cyklus dokud platí podmínka

While cyklus

• while cyklus je založen na podmínce, která se vždy na začátku cyklu testuje a pokud je splněna vykoná se zadaný blok instrukcí

while podmínka:
  blok instrukcí

• Zajímavost
  • Lze dokázat, že nelze sestrojit program, který by rozhodl, zda jiný program skončí či nikoliv.
  • Člověk může dokázat, že daný while cyklus skončí
  • Pokud důkaz chybí, není jisté, zda program s while cyklem skončí The Simplest Math Problem No One Can Solve - Collatz Conjecture

n = int(input())
while n > 1:
  if n % 2 == 0:
    n = n // 2
  else:
    n = 3 * n + 1

For cyklus

• for cyklus standardně prochází zadaný seznam hodnot
• for cyklus je založen na proměnné, která prochází seznam hodnot a pro každou hodnotu ze seznamu provede blok instrukcí

for proměnná in seznam:
  blok instrukcí

for i in "abcd":
  print(i)

for i in (1, 10, 2, 8):
  print(i)

• Pro standardní procházení nějakého rozmezí:
  • range(start, cíl, krok),
  • range(cíl), kdy start je automaticky 0 a krok je nastaven na 1,
  • range(start, cíl), kdy krok je 1.
• Lze vytvořit i for cyklus, který má dynamicky měnící se seznam hodnot, případně vrací nekonečně krát stejné/rozdílné hodnoty. V tomto případě se pak jedná spíše o while cyklus a vám doporučujeme vzhledem k přehlednosti implementovat takový program jako while cyklus.

Instrukce break a continue

• Uvnitř bloku instrukcí mohou být příkazy break a continue.
• Příkaz break znamená, že se okamžitě ukončí vykonávání bloku instrukcí a ukončí se i cyklus, který tento blok instrukcí obsahuje.
• Příkaz continue znamená, že
  • se ukončí provádění bloku instrukcí a provede se vyhodnocení podmínky (u while cyklu)
  • se přejde na novou hodnotu (u for cyklu) a pokud je to možné pokračuje se v provádění bloku instrukcí.
• POZOR u vnořených cyklů nemají příkazy break/continue vliv na vnější cyklus.

for i in "abcd":
  if i == "c":
    break
  print(i)

• Výstup:

a
b

for i in "abcd":
  if i == "c":
    continue
  print(i)

• Výstup:

a
b
d

• Napište program, který udělá to samé co opakování for cyklů pomocí while cyklu:
  • vytiskněte čísla 10 až 500 po deseti
  • vytiskněte čísla -20 až -600 po dvaceti

• Napište program, který načte číslo $n$ a najde jeho nejmenšího dělitele většího než 1.
• Je vhodné použít konstrukci break, cyklus můžete použít while i for.
• Otestujte svůj program na čísle 999962000357

• Napište program, který vytiskne čtvercovou šachovnici ze znaků 'O' a '*' o velikosti zadané uživatelem, jako vstup Vašeho programu.
• Pro tisk znaku bez konce řádky použijte následující konstrukci (end definuje zakončení řetězce a je standardně nastaveno na nový řádek):

print('.', end="")

• Vypočtěte třetí odmocninu kladného čísla $y$, zadaného jako vstup Vašeho programu následujícím postupem:
  • Přičítejte k proměnné $v$ číslo 1 dokud je třetí mocnina této proměnné menší než $y$
  • Přičítejte k proměnné $v$ číslo 0.1 dokud je třetí mocnina této proměnné menší než $y$
  • Přičítejte k proměnné $v$ číslo 0.01 dokud je třetí mocnina této proměnné menší než $y$
  • Proměnná $v$ obsahuje odmocninu čísla $y$ s přesností na dvě desetinná čísla

• Upravte předchozí program tak, aby pracoval se zadanou přesností
• Program načte číslo $y$ a $n$ a nalezne třetí odmocninu z čísla $y$ na $n$ desetinných míst
• Upravte algoritmus, aby uměl spočítat i třetí odmocniny ze záporných čísel

• Metoda půlení intervalu hledá řešení obecné rovnice $f(x)=0$, kdy známe dva body $x_1$ a $x_2$ takové, že $f(x_1)<0$ a $f(x_2)>0$.
  • Algoritmus rozpůlí interval mezi body $x_1$ a $x_2$, tedy nalezne bod $x' = \frac{x_1+x_2}{2}$ a pokud je $f(x')<0$ pak nahradí bod $x_1$ bodem $x'$, jinak nahradí bod $x_2$ bodem $x'$.
  • Výše uvedený krok se opakuje dokud není $|x_1-x_2|<\epsilon$, kde $\epsilon$ je požadovaná přesnost.
• V případě hledání třetí odmocniny z čísla y:
  • $f(x)=x^3-y$
  • Pokud $f(x)=0$, tak $x^3-y=0$, což lze zapsat jako $x^3=y$ a tedy $x=\sqrt[3]{y}$
• Napište program, který nalezne třetí odmocninu zadaného čísla $y$ na 8 desetinných míst
  • (výpočet ukončíte pokud $|x_1-x_2|<0.000000001$).
  • Na počátku zvolte $x_1=0$ a $x_2=y$ pro kladná $y>1$, $x_1=y$ a $x_2=0$ pro záporná $y< -1$, a $x_1=-1$ a $x_2=1$ v ostatních případech.

• Spusťte všechny úlohy 6 - 8 pro stejné hodnoty čísla $y$ a zjistěte, které řešení potřebuje nejmenší počet kroků (změna hodnoty $x$) k nalezení řešení s přesností na 8-desetinných míst $\epsilon=10^{-8}$.

• Výpočet třetí odmocniny Newtonovou metodou: Newtonova (Babylónská) metoda tečen $x_{i+1}= x_{i}-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$ pro třetí odmocninu z čísla $y$ je opět $f(x)=x^3-y$ a tím $f'(x)=3x^2$, pak dostáváme $$x_{i+1}=\frac{1}{3}\left( 2x_i + \frac{y}{x_i^2} \right)$$
  • Řada $x_i$ konverguje k třetí odmocnině z čísla $y$
  • $x_0$ můžete nastavit na libovolnou hodnotu různou od 0, např $x_0=1$, případně na lepší odhad.
  • Čím lepší odhad nalezneme, tím rychleji řada konverguje.
  • Výpočet lze ukončit
    • např. podle rozdílu $|x_{i+1}-x_i| < \epsilon$
    • nebo lze testovat $|x_i^3 - y| < \epsilon$

• Algoritmus pro výpis čísel -100,-99,-80,-79,-60,-59, $\ldots$ -20,-19,0,1,20,21, $\ldots$, 100.
• Výpis hodnot sin(x) v intervalu $<0,2\pi)$ se zadaným krokem $\delta$. Např. pro $\delta=0.1$ program vypíše sin(0), sin(0.1), sin(0.2) atd.