Číselné soustavy

Číselné soustavy se v digitální technice používají pro reprezentaci a zpracování informací. Nejčastěji se setkáváme s těmito soustavami:

• binární (2) – základní soustava v digitální technice
• desítková (10) – běžná soustava pro člověka
• šestnáctková (16) – zkrácený zápis binárních čísel

Každá číslice (bit) má váhu mocniny 2:

Např.:

• $1011_2 = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2^1 + 1·2^0 = 11_{10}$

Postupné dělení dvěma:

• 13 ÷ 2 = 6 zbytek 1
• 6 ÷ 2 = 3 zbytek 0
• 3 ÷ 2 = 1 zbytek 1
• 1 ÷ 2 = 0 zbytek 1

Výsledek čteme odzadu:

• $13_{10} = 1101_2$

Převod probíhá po čtveřicích bitů:

Např.:

• $1011\ 0110_2 = B6_{16}$

Záporná čísla se v digitální technice reprezentují pomocí dvojkového doplňku.

Postup:

1. zapíšeme číslo v binární podobě  
2. invertujeme bity (0 ↔ 1)  
3. přičteme 1  

Např.:

• $5_{10} = 0101_2$
• inverze → 1010
• +1 → 1011 = -5

BCD (Binary Coded Decimal) reprezentuje každou desítkovou číslici samostatně pomocí 4 bitů.

Použití:

• 7segmentové displeje
• jednoduché zobrazování čísel

K přetečení dochází, pokud výsledek operace nelze reprezentovat daným počtem bitů.

Např. pro 4 bity:

• $1111_2 + 1 = 1\ 0000_2$ → přetečení

Přebytečná „jednička“ vlevo představuje tzv. příznak přenosu (carry).

Tento příznak:

• indikuje přenos mimo rozsah registru
• ukládá se do stavového registru procesoru (např. Program Status Register)
• označuje se jako carry bit (C)

V digitálních systémech je důležité rozlišovat dva různé příznaky:

• používá se pro neznaménková čísla (unsigned)
• značí přenos mimo rozsah (např. 255 + 1 u 8 bitů)
• sleduje „fyzické“ přetečení bitů

• používá se pro znaménková čísla (signed, dvojkový doplněk)
• značí, že výsledek nedává správný matematický smysl
• vzniká, když:
  1. sečtou se dvě kladná čísla a výsledek je záporný
  2. nebo dvě záporná a výsledek je kladný

Příklad (4 bity, signed):

• $0111_2 (7) + 0001_2 (1) = 1000_2 (-8)$ → overflow

• 1 hex cifra = 4 bity
• 1 byte = 8 bitů = 2 hex cifry
• binární čísla se dobře čtou po 4 bitech (nibble)
• mocniny 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

V programovacím jazyce C lze zapisovat čísla v různých soustavách pomocí specifických prefixů:

int a = 10;      // desítkově
int b = 0b1010;  // binárně
int d = 0xA;     // hexadecimálně