====== Číselné soustavy ======

Číselné soustavy se v digitální technice používají pro reprezentaci a zpracování informací. Nejčastěji se setkáváme s těmito soustavami:

  * **binární (2)** – základní soustava v digitální technice  
  * **desítková (10)** – běžná soustava pro člověka  
  * **šestnáctková (16)** – zkrácený zápis binárních čísel  

===== Základní přehled =====

^ Soustava ^ Základ ^ Používané symboly ^
| Binární  |   2    | 0, 1 |
| Desítková|  10    | 0–9 |
| Hexadecimální |  16  | 0–9, A–F |

===== Převody mezi soustavami =====

==== Binární → Desítková ====

Každá číslice (bit) má váhu mocniny 2:

Např.:
  * $1011_2 = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2^1 + 1·2^0 = 11_{10}$

==== Desítková → Binární ====

Postupné dělení dvěma:

  * 13 ÷ 2 = 6 zbytek 1  
  * 6 ÷ 2 = 3 zbytek 0  
  * 3 ÷ 2 = 1 zbytek 1  
  * 1 ÷ 2 = 0 zbytek 1  

Výsledek čteme odzadu:
  * $13_{10} = 1101_2$

==== Binární ↔ Hexadecimální ====

Převod probíhá po čtveřicích bitů:

^ Bin ^ Hex ^  ^ Bin ^ Hex ^
| 0000 | 0 |  | 1000 | 8 |
| 0001 | 1 |  | 1001 | 9 |
| 0010 | 2 |  | 1010 | A |
| 0011 | 3 |  | 1011 | B |
| 0100 | 4 |  | 1100 | C |
| 0101 | 5 |  | 1101 | D |
| 0110 | 6 |  | 1110 | E |
| 0111 | 7 |  | 1111 | F |

Např.:
  * $1011\ 0110_2 = B6_{16}$

===== Záporná čísla =====

Záporná čísla se v digitální technice reprezentují pomocí **dvojkového doplňku**.

Postup:
  1. zapíšeme číslo v binární podobě  
  2. invertujeme bity (0 ↔ 1)  
  3. přičteme 1  

Např.:
  * $5_{10} = 0101_2$  
  * inverze → 1010  
  * +1 → **1011 = -5**

===== BCD kód =====

BCD (Binary Coded Decimal) reprezentuje každou desítkovou číslici samostatně pomocí 4 bitů.

^ Dec ^ BCD ^
| 0 | 0000 |
| 1 | 0001 |
| 2 | 0010 |
| 3 | 0011 |
| 4 | 0100 |
| 5 | 0101 |
| 6 | 0110 |
| 7 | 0111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |

Použití:
  * 7segmentové displeje
  * jednoduché zobrazování čísel

===== Přetečení (overflow) =====

K přetečení dochází, pokud výsledek operace nelze reprezentovat daným počtem bitů.

Např. pro 4 bity:
  * $1111_2 + 1 = 1\ 0000_2$ → přetečení

Přebytečná „jednička“ vlevo představuje tzv. **příznak přenosu (carry)**.

Tento příznak:
  * indikuje přenos mimo rozsah registru
  * ukládá se do stavového registru procesoru (např. **Program Status Register**)
  * označuje se jako **carry bit (C)**

===== Carry vs. Overflow =====

V digitálních systémech je důležité rozlišovat dva různé příznaky:

==== Carry (C) ====
  * používá se pro **neznaménková čísla (unsigned)**
  * značí přenos mimo rozsah (např. 255 + 1 u 8 bitů)
  * sleduje „fyzické“ přetečení bitů

==== Overflow (V) ====
  * používá se pro **znaménková čísla (signed, dvojkový doplněk)**
  * značí, že výsledek **nedává správný matematický smysl**
  * vzniká, když:
    - sečtou se dvě kladná čísla a výsledek je záporný
    - nebo dvě záporná a výsledek je kladný

Příklad (4 bity, signed):
  * $0111_2 (7) + 0001_2 (1) = 1000_2 (-8)$ → overflow

===== Rychlé tipy =====

  * 1 hex cifra = **4 bity**
  * 1 byte = **8 bitů = 2 hex cifry**
  * binární čísla se dobře čtou po **4 bitech (nibble)**
  * mocniny 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...

===== Zápis čísel v jazyce C =====

V programovacím jazyce C lze zapisovat čísla v různých soustavách pomocí specifických prefixů:

^ Soustava ^ Zápis v C ^ Příklad ^ Hodnota ^
| Desítková | bez prefixu | 10 | 10 |
| Binární((Binární zápis (''0b...'') není součástí standardu jazyka C. Je podporován pouze některými překladači (např. GCC, Clang) jako rozšíření. V přenosném C se proto používá hexadecimální zápis (''0x...'') nebo bitové operace.))  | 0b  | 0b1010 | 10 |
| Hexadecimální | 0x | 0x0A | 10 |

==== Příklady ====

<code c>
int a = 10;      // desítkově
int b = 0b1010;  // binárně
int d = 0xA;     // hexadecimálně
</code>