Cvičení 6, Pole, matice

Projdeme si inicializaci a kopírování 1D a více-D polí. Spusťte následující kód a na konci si vytiskněte jednotlivá pole. Co pozorujeme?

# Inicializace pole
a = [0] * 5
 
# Jak správně zkopírovat pole?
b = a
c = a[:]
d = list(a)
 
a[3] = 3
b[0] = -5
c[4] = 4

Nyní spusťte následující kód a opět si na konci vypište jednotlivá pole.

# Inicializace 2D pole přímo
a = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
 
# Inicializace po řádcích
f = []
for i in range(3):
    f.append([i] * 3)
 
# Inicializace po řádcích ve zkráceném zápisu
g = [[i] * 3 for i in range(3)]
 
# Jak správně zkopírovat pole?
b = a
c = a[:]
d = list(b)
e = [ r[:] for r in a ]
f = [ list(a[i]) for i in range(len(a))]
 
a[0][0] = -1
b[0][1] = -2 
c[0],c[1]=c[1],c[0]
d[1][0] = -3
e[1][1] = -4

Pokud chceme opravdovou kopii vícedimenzionálního pole, tvz. deep copy, můžeme použít modul copy a funkci deepcopy. Doplňte import a kopírování do předchozí ukázky a porovnejte výsledky.

import copy
 
d = copy.deepcopy(b)

• Hru Life navrhl v roce 1970 matematik John Horton Conway.
• Pravidla hry jsou jednoduchá:
  • pokud jsou v okolí jedné buňky živé právě 3 buňky, pak v této buňce život vznikne (nebo zůstane)
  • pokud je buňka živá a v jejím okolí jsou právě 2 živé buňky, pak tato buňka bude žít i nadále
  • v ostatních případech buňka zahyne buď na osamění, nebo přemnoženost
• Uvažujte osmiokolí: 8 sousedních buněk.
• Uvažujte uzavřený svět, tedy sousední políčko pro první pole řádku je poslední pole řádku, sousední pole pro první řádek je poslední řádek
• Napište program, který bude simulovat 40 kroků hry life pro toto počáteční pole:

a = [[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
   ]

• Vygenerování prázdného pole

[[0]*len(a[0]) for i in a]

• Využití funkce modulo (%) Vám pomůže implementovat uzavřený svět
• Pro lepší zobrazení udělejte po každém kroku pauzu

import time
time.sleep(0.5)

• Také můžete vylepšit zobrazení tak, že místo 1 budete tisknout X a místo 0 mezeru

''.join('X' if i!=0 else ' ' for i in x))

• Napište program, který načte matici a následně permutaci, která definuje prohození řádků zadané matice. Na výstup program vytiskne matici s řádky prohozenými podle zadané permutace.

• Gaussova eliminační metoda je metodou řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. GEM lze využít pro výpočet inverzní matice nebo determinantu matice.

• Napište funkci maximum(M, i), která pro zadanou matici M a index (číslo) i najde takový index řádku j v rozsahu range(i, len(M)) jehož absolutní hodnota M[j][i] je maximální. Využijte vestavěnou funkci abs.

• Napište funkci swap_rows(M, i), která prohodí řádek i a řádek s indexem j = maximum(M, i), pokud i != j.

• Napište funkci do_line(M, i), která zavolá funkci swap_rows(M, i) a pokud:
  • M[i][i] != 0:
    • celý řádek i matice M vydělí hodnotou M[i][i]
    • od všech řádků r v rozsahu range(i + 1, len(M)) odečte M[r][i]-násobek řádku i
    • vrátí hodnotu True
  • jinak vrátí False

• Napište funkci GEM(M), která pro všechna i z rozsahu range(len(m)) zavolá funkci do_line(M, i)
• Pokud je návratová hodnota funkce do_line() alespoň 1x False, metoda Gauss_elim() vrací False. V opačném případě vrací True.

• Spusťte funkci GEM() pro matici:

m=[[12,-7,3, 26],
   [4 ,5,-6, -5],
   [-7 ,8,9, 21]]

Využijte ve výpočtu úkolu 3 zlomků namísto reálných čísel. K tomu využijte Python modul fraction (from fractions import Fraction) pomocí kterého přemapujte prvky matice M na typ Fraction (zlomek):

M_fr = [list(map(Fraction, v)) for v in M]
GEM(M_fr)

Výsledek GEM lze transformovat zpět na reálná čísla pomocí:

result = [list(map(float, v)) for v in M_fr]

• Napište a odevzdejte program tic_tac_toe.py, který načte hrací pole piškvorek a určí souřadnice vítězného tahu hráče na řadě
• Vstup
  • Přes příkazovou řádku bude programu předána cesta k souboru s hracím polem (použijte sys.argv[1])
  • Soubor obsahuje znaky ., x a o značící prázdné pole ., křížek x a kolečko o.
  • Znaky na řádce jsou oddělené mezerou. Jiné znaky než (mezera, ., x, o) se v souborech nevyskytují. Pole nemusí být čtvercové.
  • Hráč s o vždy začíná. Pro určení hráče na tahu tedy platí
    • pokud je v poli stejný počet x a o, pak je na tahu o
    • pokud je x o jednu méně, než o, pak hraje x
  • Příklad vstupního souboru

    o . . o o o o
    x o . x x . x
    x . o . . x o
    o x o x o o x
    x . . x x . .

• Výstup
  • dvě celá čísla oddělená mezerou, která určují indexy souřadnic v hracím poli (2D pole po řádcích)

    0 2

  • V poli je stejný počet o a x (12), na tahu je tedy o
  • Hráč o hru vyhrává, když hraje na první řádek do třetího sloupce, tj. index v poli 0 2

Vstup:

o . o x o o o
. . . x x . .
x . o o x . .
o o . o x . x
. . x x o x x

Vstup:

x . . o o
. . . . .
o . x o .
o . x . .
o x x x o
. o x . .

Vstup:

x x . . . .
x o . o . .
x o o x o .
. o o . o x
o . x x o .
. x . . x .

Vstup:

. o o . . o . .
x o . x x . . .
. . o x . . . .
o . . . x . . o
x o x o . o . x
. x x o . o o .
. . x o . o x .
. x x . x . . o

• Napište program rectangle.py, který v matici celých čísel zadané na příkazové řádce (sys.argv[1]) najde největší souvislou podmatici libovolného rozměru, která obsahuje pouze záporné hodnoty. Příklad volání:

python3 rectangle.py matice.txt

• Výstupem programu jsou souřadnice levého horního rohu a pravého dolního rohu podmatice. Na prvním řádku výstupu je levý horní roh ve formátu řádek sloupec, na druhém řádku pravý dolní roh. Řádky i sloupce se číslují od 0.
• Velikost podmatice je určena jejím počtem prvků.
• Snažte se, aby Váš program byl co nejefektivnější, ideálně, aby jeho časová složitost odpovídala velikosti matice. Bodové ohodnocení této úlohy bude záviset na efektivnosti (rychlosti) Vašeho algoritmu.
• Pokud existuje více řešení, vypište libovolné z nich.
• Nastudujte si nejrychlejší způsob nalezení maximálního obdélníku pod histogramem Část 1 a Část 2
• Timeout na výpočet je: 50 sekund. Toto platí i pro velké matice, které si můžete stáhnout níže. Na nich je dobře patrný rozdíl mezi lineárním algoritmem $O(n)$, algoritmem $O(n \cdot \log(n))$ a $O(n^2)$, kde n je počet prvků matice.

Matice matice.txt:

 1 -9 -2   8   6  1
 8 -1 -11 -7   6  4
10 12 -1  -9 -12 14
 8 10 -3  -5  17  8
 6  4 10 -13 -16 19

Výstup:

1 2
3 3

Obrovské testovací matice matice.tgz (i ty je nutné spočítat do 50s).