\[
\def\_#1{\mathbf{#1}}
\def\R{\mathbb{R}}
\]

==== Predikce průměrné hrubé mzdy ====

Graf ukazuje vývoj průměrné hrubé mzdy (PHM) v České republice v období od roku 2000 do roku 2008 (data byla stažena ze [[http://www.czso.cz|stránek Českého statistického úřadu]]), červená přímka je odhadnuta z dat metodou nejmenších čtverců. Některé hodnoty z grafu jsou také uvedeny v tabulce; časový údaj je ve formátu t = rok+(kvartál-1)/4, kde rok $\in\{2000,\ldots,2008\}$ a kvartál $\in\{1,2,3,4\}$. Data si stáhněte ze souboru {{./mzdy.txt}} a nahrajte do Matlabu příkazem ''data = load(’mzdy.txt’,’-ascii’);'' (matice ''data'' tedy obsahuje časy a mzdy).

{{mzdy.svg?400}}

^ Období $t$ [rok] ^ 2000.00 ^ 2000.25 ^ 2000.50 ^ 2000.75 ^ $\ldots$ ^ 2008.50 ^ 2008.75 ^
| Mzda $M$ [Kč] | 11,941 | 13,227 | 12,963 | 14717 | $\ldots$ | 22,282 | 24,448 |

Cílem je přibližně předpovědět hodnotu PHM v časech, pro které není hodnota PHM známá. To uděláme tak, že nejprve nalezneme funkci, která co nejlépe odpovídá zadaným údajům o PHM, a tuto funkci pak použijeme pro odhad PHM v požadovaném čase. Z grafu je vidět, že závislost PHM na čase je téměř lineární. Tudíž budeme hledat lineární funkci 
\[
\hat{M}(t) = x_1 + x_2 t
\]
kde $\hat{M}(t)$ je odhad PHM v čase $t$ a $x_1,x_2\in\R$ jsou parametry. Náš naměřený vzorek označíme $\{(t_1,M_1),\ldots,(t_m,M_m)\}$ obsahuje $m$ dvojic (čas,PHM). Optimální parametry nalezneme z tohoto vzorku ve smyslu nejmenších čtverců, tj. tak, aby součet kvadrátů odchylek skutečné a odhadnuté mzdy byl v naměřených bodech minimální. To znamená, minimalizujeme funkci
\[
\sum_{i=1}^m ( \hat{M}(t_i)-M_i )^2
\]

**Úkoly:**
  - Implementujte funkci ''x = fit_wages(t,M)'' kde ''t'' a ''M'' jsou vektory délky $m$ s časy a mzdami, a ''x'' je vektor délky 2 s parametry $(x_1,x_2)$. 
  - Implementujte funkci ''M = quarter2_2009(x)'', která pro parametry ''x'' odhadnuté funkcí ''fit_wages''spočítá odhad PHM ve druhém kvartálu roku 2009.