===== Lab 14 : Příklady, Q & A =====

Součástí zkoušky jsou početní příklady, dnešní cvičení berte jako sbírku příkladů, která doplňuje již procvičené příkaldy: [[courses:zsl:labs2020_02_microscopy| Lab 2 : Mikroskopie (optika)]] a [[courses:zsl:labs2020_07_ultrasound | Lab 7: Ultrasound ]].


==== Rentgen ====

**Užit(ečn)é vzorečky**
  * energie fotonu $E = hf = h \frac{c}{\lambda} \, ,$
  * //polotloušťka// $\frac{1}{2} = \textrm{e}^{-\mu d}$

=== Energie fotonu (I) ===

Foton o vlnové délce $100~nm$ má energii $12~eV$, jaká je enerige fotonu s vlnovou délkou $2~nm$?

=== Energie fotonu (II) ===

V rentgence vzniká při dopadu elektronů o kinetické energii $10~keV$ Rentgenovo záření. Určete vlnovou délku Rentgenova záření, vzniklého při dopadu těchto elektronů, pokud víme že pouze 1% energie se přemění na záření.


**Řešení** Určete množství přeměněné energie $E$, a spočítejte vlnovou délku.


=== Stínění záření (I) ===

Rentgenové záření s intenzitou $10~W/cm^2$ prochází blokem $10~cm$ tkáně s polotloušťkou $2~cm$. Určete intenzitu záření po průchodu tkání. Koeficient útlumu vody uvažujte $\mu_w = 0.22~cm^{-1}$. Jaká je densita tkáně v Hounsfieldových jednotkách? O jakou tkáň se pravděpodobně jedná?

**Řešení** [577 HU, kost]


=== Stínění záření (II) ===

Monochromatické Rentgenovo záření o intenzitě $I_0$ prochází $30~cm$ tloušťky materiálu //A// a následně $8~cm$ tloušťky materiálu //B//. Nechť je //polotloušťka// materiálu //A// rovna $10~cm$, materiálu //B// pak $3~cm$. Jaká je intenzita záření na hranici materiálů //A|B//? Jaká je intenzita zbytkového záření vycházejícího z bloku //B//?


**Řešení** [$I_{A|B} = 0.125 \cdot I_0, \; I_B = 0.0197 \cdot I_0$]

==== Ultrazvuk ====

=== Dopplerův efekt ===

Mějme ultrazvuk s nosnou frekvencí $3~\text{MHz}$ a pomocí Dopplerova efektu měříme rychlost proudění krve, která proudí ve zkoumaném místě rychlostí $2~cm/s$. Určete Dopplerův rozsah frekvencí (rozdíl mezi vyšší a nižší), které budeme z tohoto zkoumaného místa přijímat. Rychlost šíření ultrazvukových vln uvažujeme $c_{us} = 1540 m/s$.


**Řešení** [$3~\text{MHz} \pm 78 \text{Hz}$]

/*
Postup si rozdělíme na dvě části -- vysílání, tedy //pohybující se cíl (tkáň) a statický zdroj (US)// a echo, tedy //pohyblivý zdroj (tkáň) a statický cíl (US)//. Máme tedy dvojnásobný Dopplerův efekt:

$$ f = \frac{c \pm v}{c} \cdot \frac{c}{c \pm v} $$

Jelikož však neznáme směr pohybu, určíme maximální a minimální měřenou frekvenci

$$ f_{min} = \frac{c-v}{c+v} \cdot f_0 \qquad f_{max} = \frac{c+v}{c-v} \cdot f_0$$

Jejich rozdíl je $$ f_{\Delta} = f_{max} - f_{min} = ... = \frac{4cv}{c^2 - v^2} \cdot f_{0} = 155.9 \text{Hz}$$

Přijímané frekvence tedy budou v rozpětí $3~\text{MHz} \pm 78 \text{Hz}$.
*/

==== Další ====

  * Rovnice aktivity v čase $$ dN = -\lambda N dt, \quad N(0) = N_0$$, 
  * a její řešení: 
$$ N = N_0 \cdot \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}, \qquad \lambda = \frac{\ln k}{t_k} $$

  * Poločas rozpadu $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

=== Radioaktivita ===

Vypočtěte kolikrát se zmenší hmota radioaktivního izotopu za dobu 3 roky, jestliže za 1 rok klesne 4 krát.

**Řešení** [64-krát]


/*
Z rovnice útlumu máme: v čase $t$ //pozorujeme// množství aktivních částic $N(t)$ (počáteční množství N(0) = N_0) a víme, že $N(t)$ se mění -- //zmenšuje// -- rozpadem, s rozpadovou konstantou $\lambda$. Tento vztah si můžeme vyjádřit diferenciální rovnicí

$$ dN = -\lambda N dt, \quad N(0) = N_0 $$

Řešení rovnice je:

$$ N = N_0 \cdot \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}, \qquad \lambda = \frac{\ln k}{t_k} $$

s faktorem rozpadu $k$ (konkrétně $k=4$) a trváním $t_k$ ($t_k=1$ v našem případě). S touto rovnicí se zpravidla nesetkáváme v tomto obecném tvaru, ale jen pro faktor 2 -- //poločas rozpadu//:

$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$

Ale také si můžeme počítání rovnic odpustit a zamyslet se. Každý rok se hmota zmenší s faktorem $(1/4)$ za tři roky tedy s faktor $(1/4)^3$, tedy 64-násobně.
*/

=== Radioaktivní rozpad ===

Počáteční rychlost rozpadu (tzv. aktivita) radia $Ra_{88}^{226}$ o hmotnosti 1g je $1~Bq$. Vypočtěte poločas rozpadu uvedeného izotopu. Molární hmotnost izotopu radia je $226 \cdot 10^{-3} kg \cdot mol^{-1}$. 


**Řešení** [$\approx 1582$ [roků]]

/*
Z definice poločasu rozpadu $\lambda =  \ln 2 / T_{1/2}$ dostáváme
$$ N = N_0 \cdot \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}$$

Rychlost rozpadu (tj. //aktivita// $A$) je změna počtu částic za čas, formálně

$$ A = \left| \frac{dN}{dt} \right| = \lambda N(t) \quad = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \cdot N_0 \cdot \mathrm{e}^{- \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \cdot t}$$

V čase $t=0$ je exponencialní část rovna 1, počáteční množství částic je dáno hmotností $m~[kg]$, Avogadrovou konstantou $N_A = 6.023 \cdot 10^{23} [mol^{-1}]$ a molární hmotností $M_m~[kg \cdot mol^{-1}]$

$$ A(0) = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \cdot N_0 = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \cdot \frac{m \cdot N_A}{M_m}$$

Vyjádřením $T_{1/2} z rovnice se dostaneme k výsledku, že poločas rozpadu je \approx 1582~[years]$.

*/

=== Radiofarmaka ===

Mějme radiofarmakum běžně používané pro PET zobrazení s poločasem rozpadu $130~[min]$ a poločasem vyloučení z těla pacienta $35~[min]$. Určete aktivitu $4\cdot 10^{-12}~[mol]$ tohoto radiofarmaka v době podání $30~[min]$ po vyrobení a dále jeho aktivitu na konci mšření, tedy $15~[min]$ po podání? 


**Řešení** [$183~[\text{MBq}]$ a $125~[\text{MBq}]$]

/*
The initial amount $N_0$ is given by the molar mass $n$ and $N_A$ -- $N_0 = n \cdot N_A = 2.41 \cdot 10^{12} []$. Now we use $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ to get both //elimination// and //activity decay constants// $\lambda_E, \lambda_A$. It is

$$ \lambda_E = \frac{\ln 2}{\tau_E} = \frac{\ln 2}{35 \cdot 60} = 3.3 \cdot 10^{-4} [s^{-1}]$$

and analogously $\lambda_A = 8.89 \cdot 10^{-5} [s^{-1}]$.

The injected amount $N_i$ is given by the decay rate formula as

$$N_i = N_0 \cdot \mathrm{e}^{-\lambda_A t_i} = ... = 2.05 \cdot 10^{12} []$$

To compute the activity, we need to compute the amount of particles available at time $t$ **after injection** (don't forget: //the amount of particles is reduced by both elimination and activity//), formally:

$$ A(t) = N_i \mathrm{e}^{-(\lambda_E + \lambda_A) t} \lambda_r $$

The initial activity is then $A(0)$, and the activity after acquisition $A(15~[min])$ with results $183~[MBq]$ and $125~[MBq]$ respectively.
*/

=== PET ===

Předpokládejte, že v PET skeneru je v kruhu o průměru $1~[m]$ umístěno $N = 200$ detektorů stejné velikosti. Přesně uprostřed kruhu je umístěna radioaktivní látka s celkovou aktivitou $A = 10^6~[Bq]$ (aktivita detekovaná všemi detektory). Byl-li rozpad zachycen, jaké jsou pravděpodobnosti zachycení rozpadu konkrétní dvojicí detektorů? Po jak dlouhé době od rozpadu je rozpad zachycen detektory? Jaká je očekávaná aktivita v čase $T=10~[min]$, je-li fyzikální poločas rozpadu $\tau_A = 10~[min]$ a biologický poločas vyloučení $\tau_E = 10~[min]$? Jaký je očekávaný počet rozpadů zachycený od začátku až do času $T = 10~[min]$? Spočtěte jak celkový počet rozpadů, tak průmerný počet rozpadů pro každou dvojici.


**Řešení** [...] 

/*
Since the agent is placed //exactly at the center// of the ring, the detection lines will pass through the center. That means, we have $N/2$ possible detector pairs and the detection probability is $\frac{1}{100}$.

The gamma ray spreads with speed of light, so the delay between event and detection is 
$$t = \frac{0.5 * d}{c} = \frac{0.5}{3\cdot 10^8} = 1.67 \cdot 10^{-9}~[s]$$

If we look precisely at the input values we see, that we need to estimate the activity exactly the half time value. So we lose half of the particles due to activity and from them another half that gets eliminated from the body. So in total a $\frac{1}{4}$ of the original activity will remain. Thus $A(T=10~[min]) = 2.5 \cdot 10^5~[Bq]$.

So the amount of active particles changed from $N_0$ to $\frac{1}{4} \cdot N_0$ during the scan time of $10~[min]$. Since half of them was eliminated from the body, we arrive at 
$$\delta N = \frac{1}{2} \cdot (N_0 - \frac{1}{4}\cdot N_0) = \frac{3}{8} N_0$$ decay events (total count).

If we want to get the number, we need to compute the decay constant $\lambda = \frac{\ln 2}{\tau_{1/2}} = 1.16 \cdot 10^{-3}$ and put it in $N_0 = \frac{A_0}{\lambda}$. This will give $N_0 = 862 \cdot 10^6~[.]$
*/