\[ \def\_#1{\mathbf{#1}} \def\x{\times} \def\R{\mathbb{R}} \def\mat#1{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}} \def\matr#1{\begin{bmatrix*}[r]#1\end{bmatrix*}} \]
(Tomáš Werner, 2011)
Je dána množina $X\subseteq\R^n$ a zobrazení $\_f{:}\ X\to\R^m$. Cílem je spočítat pro toto zobrazení Taylorův polynom v daném bodě $\_x^*$ a poté vizualizovat zobrazení $\_f$ a Taylorův polynom. Způsob vizualizace se liší podle dimenzí definičního oboru a oboru hodnot, ale je vždy stejný pro zobrazení $\_f$ a pro Taylorův polynom.
Zopakujme (viz skripta):
Podotkněme, že $\_T_1$ a $\_T_2$ přísně vzato nejsou polynomy, protože jsou to zobrazení a ne funkce.
Úlohu vypracujeme pro následující zobrazení:
Stáhněte si matlabské funkce prikladn.m
zde. Číslo n
odpovídá pořadí ve výše uvedeném seznamu.
Každá funkce vizualizuje zobrazení $\_f$ žlutou barvou, definuje bod $\_x^*$ (označený jako xx
) a nakreslí ho jako červené kolečko.
Vaším úkolem je doplnit funkce T1
a T2
, což jsou Taylorovy polynomy prvního a druhého řádu pro zobrazení $\_f$.
Odkomentováním příslušných řádků se pak polynom prvního řádu zobrazí zeleně a polynom druhého řádu fialově.
Jako vzor jsme úlohu vypracovali pro zobrazení 1.
Pro zobrazení 6 (tj. složení zobrazení 2 a 4) vypracujte pouze polynom prvního řádu. Pro výpočet první totální derivace použijte řetězové pravidlo.
Kontrolou správnosti polynomů je to, že polynomy mají v bodě $\_x^*$ se zobrazením $\_f$ společnou hodnotu a první a druhou derivaci. Tedy polynom prvního řádu je vždy `tečný' k zobrazení a polynom druhého řádu je kvadratickou aproximací zobrazení.
Požadovaný výstup cvičení:
prikladn.m
. Cvičící si odevzdané funkce pustí a z obrázku ihned uvidí, zda je vše v pořádku.