====== 11. Numerické výpočty ======

Pro numerické výpočty, simulace a vizualizaci je možné využít v Pythonu knihovnu NumPy (součást balíku pro vědecké výpočty SciPy).

<note tip>Instalace pomocí instalátoru pip (i pokud nemáte administrátorská práva na počítači): 

<code>pip install --user numpy scipy matplotlib scikit-image</code></note>

Po instalaci můžete začít knihovnu používat pomocí

<code python>
import numpy as np
</code>

==== Vytvoření pole konverzí z typů vestavěných v Pythonu  ====

<code python>
>>> x = np.array([2,3,1,0])
>>> x = np.array([2, 3, 1, 0])
>>> x = np.array([[1,2.0],[0,0],(1+1j,3.)]) # mix různých typů
>>> x = np.array([[ 1.+0.j, 2.+0.j], [ 0.+0.j, 0.+0.j], [ 1.+1.j, 3.+0.j]])
</code>

==== Vytvoření specializovaných polí  ====

''zeros(shape)'' - pole vyplněné nulami, datový typ ''float64''
<code python>
>>> np.zeros((2, 3))
array([[ 0., 0., 0.], [ 0., 0., 0.]])
</code>

Obdobně lze pomocí funkce ''ones(shape)'' vytvářet i pole naplněná jedničkami.

''full(shape, value)'' - naplní pole prvky dané hodnoty
<code python>
>>> np.full((2, 2), 12.34)
array([[12.34, 12.34],
       [12.34, 12.34]])
</code>

''eye(size)'' - jednotková matice
<code python>
>>> np.eye(4)
array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 1.]])
</code>

''diag(vector)'' - diagonální matice
<code python>
>>> np.diag([1, 2, 3, 4])
array([[1, 0, 0, 0],
       [0, 2, 0, 0],
       [0, 0, 3, 0],
       [0, 0, 0, 4]])
</code>

<note tip>U funkcí lze stanovit datový typ pomocí argumentu ''dtype''

<code python>
>>> np.zeros((4, 4), dtype='int8')
array([[0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0]], dtype=int8)
</code>
</note>

''arange()'' - pole s prvky rozmístěnými v pravidelných intervalech, specifikujeme krok

<code python>
>>> np.arange(10)
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
>>> np.arange(2, 10, dtype=float)
array([ 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.])
>>> np.arange(2, 3, 0.1)
array([ 2. , 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9])
</code> 

''linspace()'' - pole s prvky rozmístěnými v pravidelných intervalech, specifikujeme počet prvků, délka intervalu je určena automaticky

<code python>
>>> np.linspace(1., 4., 6)
array([ 1. ,  1.6,  2.2,  2.8,  3.4,  4. ])
</code> 

==== Práce s polem v NumPy ====

  * Informace o matici
<code python>
>>> import numpy as np
>>> a = np.arange(15).reshape(3, 5)
>>> a
array([[ 0,  1,  2,  3,  4],
       [ 5,  6,  7,  8,  9],
       [10, 11, 12, 13, 14]])
>>> a.shape
(3, 5)
>>> a.ndim
2
>>> a.dtype.name
'int64'
>>> a.itemsize
8
>>> a.size
15
>>> type(a)
<type 'numpy.ndarray'>
>>> b = np.array([6, 7, 8])
>>> b
array([6, 7, 8])
>>> type(b)
<type 'numpy.ndarray'>
</code>

  * Základní operace (po prvcích)
<code python>
>>> a - 1
>>> a / 2
>>> -(a % 4)
>>> a > 5  # pravdivostni tabulka
</code>

  * Indexace
<code python>
>>> a[0]
>>> a[0:-1]
>>> a[0][1]
>>> a[0, 1]
>>> a[0:-1, 1:] 
>>> a[:, 2]     # cely druhy sloupec
>>> a[a>5]      # indexace pravdivostni tabulkou -> vysledek je jednorozmerny
</code>
===== Příklady =====

====  Lineární inerpolace metodou nejmenších čtverců ====

Mějme dvě pole, reprezentujícími čas (x) a hodnotu (y). Jaká je hodnota mezi mezi naměřenými body?

<code python>
import numpy as np

x=np.array([10,20,30,40,50])
y=np.array([17.1,21.9,24.5,29.5,35.8])
</code>

Vykreslení pomocí knihovny matplotlib

<code python>
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x,y,’ro’)          # zdroj dat, vykresleno cervenymi body
plt.xlabel(’x’)             # popiska vodorovne osy
plt.ylabel(’y’)             # popiska svisle osy
plt.title(’Measured data’)  # titulek grafu
plt.axis((0,60,10,40))      # nastaveni os
plt.savefig(’data.pdf’)     # ulozeni do souboru, podpora cele rady formatu, rozeznani pole pripony
plt.show()                  # vykresleni grafu
</code>

Interpolace metodou [[https://cs.wikipedia.org/wiki/Metoda_nejmen%C5%A1%C3%ADch_%C4%8Dtverc%C5%AF|nejmenších čtverců]]

<code python>
n=len(x)
sx=np.sum(x)
sy=np.sum(y)
sxy=np.dot(x,y)
sxx=np.dot(x,x)
A=np.array([[sxx,sx],[sx,n]])
r=np.array([sxy,sy])
theta=np.linalg.solve(A,r) # obsahuje a,b
print("theta=", theta)
</code>

Interpolace a vykreslení

<code python>
t=np.arange(0,60,0.1)
z=t*theta[0]+theta[1]
plt.plot(t,z,’b-’)
plt.legend([’naměřená data’,’aproximace’],loc=’upper left’)
plt.savefig(’aproximace.pdf’)
plt.show()
</code>

==== Vykreslení harmonického signálu ====

<code python>
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# data, ktera budeme kreslit
x = np.arange(0.0, 2.0, 0.01)
y1 = 1 + np.sin(2 * np.pi * t)

# vykreslime průběh funkce
plt.plot(x, y1)

# popis os
plt.xlabel("cas (s)")
plt.ylabel("napeti (x)")

# zobrazení grafu
plt.show()
</code>

=== Úkoly ===

  * vykreslete do grafu druhý průběh ''y2'', např. posunutý harmonický signál se stejnou časovou osou
<code python>
plt.plot(x, y1, x, y2)
</code>

  * definujte další průběh ''y3'' a vykreslete jednotlivé křivky s různým stylováním, graf doplňte legendou 
<code python>
vykreslení jednotlivých průběhů
plt.plot(x, y1, "b-", label="prvni funkce")
plt.plot(x, y2, "r.", label="druha funkce")
plt.plot(x, y3, "g--", label="treti funkce")

# přidání legendy do levého dolního rohu
plt.legend(loc="lower left")
</code>

  * vyzkoušejte vyplnění plochy pod křivkou

<code python>
plt.fill(x, y1, "red", x, y2, "yellow", alpha=0.3)
</code>

  * zapněte zobrazení mřížky

<code python>
plt.grid(True)
</code>

==== Vykreslení histogramu ====

<code python>
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# náhodné hodnoty
y = np.random.normal(0, 0.1, 10000)

plt.hist(y, bins=30, range=None, normed=True) # zkuste změnit počet binů

# zobrazení grafu
plt.show()
</code>

==== Práce s obrazovými daty ====

Pro práci s obrazovými daty můžeme využít třeba knihovnu ''scikit-image'', která obsahuje celou řadu [[https://scikit-image.org/docs/stable/auto_examples/|testovacích dat]]:

<code python>
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage import data

camera = data.camera()

plt.figure(figsize=(4, 4))
plt.imshow(camera, cmap='gray')
plt.axis('off')
plt.show()
</code>