====== Cvičení 2: Cykly a reálná aritmetika ======
==== Opakování ====
=== Celočíselné operace - práce s časem ===
* Napište program, který načte celé číslo udávající časový interval ve vteřinách a vypíše kolik je to dní, hodin, minut a vteřin.
* Tedy pokud bude vstup ''100000'' pak vypíše: ''den 1 hodin 3 minut 46 vterin 40''
=== Rozdíl dvou časových údajů ===
* Napište program, který vypočítá rozdíl dvou časů zadaných ve formátu: ''HH:MM:SS''
=== For cykly ===
* Napište program, který pomocí konstrukce ''for i in range(od, do, krok):''
* vytiskne čísla 10 až 500 po deseti
* vytiskne čísla -20 až -600 po dvaceti
==== Cykly ====
Základní druhy cyklů
* for cyklus - procházení seznamu hodnot
* while cyklus - opakuj cyklus dokud platí podmínka
While cyklus
* while cyklus je založen na podmínce, která se vždy na začátku cyklu testuje a pokud je splněna vykoná se zadaný blok instrukcí
while podmínka:
blok instrukcí
* Zajímavost
* Lze dokázat, že nelze sestrojit program, který by rozhodl, zda jiný program skončí či nikoliv.
* Člověk může dokázat, že daný while cyklus skončí
* Pokud důkaz chybí, není jisté, zda program s while cyklem skončí
n = int(input())
while n > 1:
if n % 2 == 0:
n = n // 2
else:
n = 3 * n + 1
For cyklus
* for cyklus standardně prochází zadaný seznam hodnot
* for cyklus je založen na proměnné, která prochází seznam hodnot a pro každou hodnotu ze seznamu provede blok instrukcí
for proměnná in seznam:
blok instrukcí
for i in "abcd":
print(i)
for i in (1, 10, 2, 8):
print(i)
* Pro standardní procházení nějakého rozmezí:
* ''range(start, cíl, krok)'',
* ''range(cíl)'', kdy start je automaticky 0 a krok je nastaven na 1,
* ''range(start, cíl)'', kdy krok je 1.
* Lze vytvořit i for cyklus, který má dynamicky měnící se seznam hodnot, případně vrací nekonečně krát stejné/rozdílné hodnoty. V tomto případě se pak jedná spíše o while cyklus a vám doporučujeme vzhledem k přehlednosti implementovat takový program jako while cyklus.
Instrukce ''break'' a ''continue''
* Uvnitř bloku instrukcí mohou být příkazy ''break'' a ''continue''.
* Příkaz ''break'' znamená, že se okamžitě ukončí vykonávání bloku instrukcí a ukončí se i cyklus, který tento blok instrukcí obsahuje.
* Příkaz ''continue'' znamená, že
* se ukončí provádění bloku instrukcí a provede se vyhodnocení podmínky (u while cyklu)
* se přejde na novou hodnotu (u for cyklu) a pokud je to možné pokračuje se v provádění bloku instrukcí.
* POZOR u vnořených cyklů nemají příkazy ''break''/''continue'' vliv na vnější cyklus.
for i in "abcd":
if i == "c":
break
print(i)
* Výstup:
a
b
for i in "abcd":
if i == "c":
continue
print(i)
* Výstup:
a
b
d
==== Úkol 1 While cykly ====
* Napište program, který udělá to samé co opakování for cyklů pomocí ''while'' cyklu:
* vytiskněte čísla 10 až 500 po deseti
* vytiskněte čísla -20 až -600 po dvaceti
==== Úkol 2 Break loop ====
* Napište program, který načte číslo $n$ a najde jeho nejmenšího dělitele většího než 1.
* Je vhodné použít konstrukci ''break'', cyklus můžete použít ''while'' i ''for''.
* Otestujte svůj program na čísle 999962000357
==== Úkol 3 Tisk šachovnice ====
* Napište program, který vytiskne čtvercovou šachovnici ze znaků 'O' a '*' o velikosti zadané uživatelem, jako vstup Vašeho programu.
* Pro tisk znaku bez konce řádky použijte následující konstrukci (//end// definuje zakončení řetězce a je standardně nastaveno na nový řádek):
print('.', end="")
==== Úkol 4 Odlaďte syntaktické chyby v programu ====
* Zkopírujte si následující kód do souboru
* V programu odstraňte syntaktické chyby
* Program spusťte a zjistěte co dělá
step = 0.1
sum = 0
for is in range(1, 11):
sum += step
if suma == is / 10:
print("Plati", sum, "rovno", is / 10)
else:
print("Neplati", sum, "nerovno", is / 10)
==== Úkol 5 Výpočet třetí odmocniny přičítáním ====
* Vypočtěte třetí odmocninu kladného čísla $y$, zadaného jako vstup Vašeho programu následujícím postupem:
* Přičítejte k proměnné $v$ číslo 1 dokud je třetí mocnina této proměnné menší než $y$
* Přičítejte k proměnné $v$ číslo 0.1 dokud je třetí mocnina této proměnné menší než $y$
* Přičítejte k proměnné $v$ číslo 0.01 dokud je třetí mocnina této proměnné menší než $y$
* Proměnná $v$ obsahuje odmocninu čísla $y$ s přesností na dvě desetinná čísla
==== Úkol 6 Výpočet třetí odmocniny přičítáním se zadanou přesností ====
* Upravte předchozí program tak, aby pracoval se zadanou přesností
* Program načte číslo $y$ a $n$ a nalezne třetí odmocninu z čísla $y$ na $n$ desetinných míst
* Upravte algoritmus, aby uměl spočítat i třetí odmocniny ze záporných čísel
==== Úkol 7 Půlení intervalu ====
* Metoda půlení intervalu hledá řešení obecné rovnice $f(x)=0$, kdy známe dva body $x_1$ a $x_2$ takové, že $f(x_1)<0$ a $f(x_2)>0$.
* Algoritmus rozpůlí interval mezi body $x_1$ a $x_2$, tedy nalezne bod $x' = \frac{x_1+x_2}{2}$ a pokud je $f(x')<0$ pak nahradí bod $x_1$ bodem $x'$, jinak nahradí bod $x_2$ bodem $x'$.
* Výše uvedený krok se opakuje dokud není $|x_1-x_2|<\epsilon$, kde $\epsilon$ je požadovaná přesnost.
* V případě hledání třetí odmocniny z čísla //y//:
* $f(x)=x^3-y$
* Pokud $f(x)=0$, tak $x^3-y=0$, což lze zapsat jako $x^3=y$ a tedy $x=\sqrt[3]{y}$
* Napište program, který nalezne třetí odmocninu zadaného čísla $y$ na 8 desetinných míst
* (výpočet ukončíte pokud $|x_1-x_2|<0.000000001$).
* Na počátku zvolte $x_1=0$ a $x_2=y$ pro kladná $y>1$, $x_1=y$ a $x_2=0$ pro záporná $y< -1$, a $x_1=-1$ a $x_2=1$ v ostatních případech.
==== Úkol 8 Výpočet třetí odmocniny Newtonovou metodou ====
* Newtonova (Babylónská) metoda tečen $x_{i+1}= x_{i}-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$ pro třetí odmocninu z čísla $y$ je opět $f(x)=x^3-y$ a tím $f'(x)=3x^2$, pak dostáváme $$x_{i+1}=\frac{1}{3}\left( 2x_i + \frac{y}{x_i^2} \right)$$
* Řada $x_i$ konverguje k třetí odmocnině z čísla $y$
* $x_0$ můžete nastavit na libovolnou hodnotu různou od 0, např $x_0=1$, případně na lepší odhad.
* Čím lepší odhad nalezneme, tím rychleji řada konverguje.
* Výpočet lze ukončit
* např. podle rozdílu $|x_{i+1}-x_i| < \epsilon$
* nebo lze testovat $|x_i^3 - n| < \epsilon$
==== Úkol 9 Výpočet třetí odmocniny - porovnání ====
* Spusťte všechny úlohy 6 - 8 pro stejné hodnoty čísla $y$ a zjistěte, které řešení potřebuje nejmenší počet kroků (změna hodnoty $x$) k nalezení řešení s přesností na 8-desetinných míst $\epsilon=10^{-8}$.
===== Domácí příprava =====
Procvičte si znalosti z tohoto cvičení na následujících příkladech:
* Algoritmus pro výpis čísel -100,-99,-80,-79,-60,-59, $\ldots$ -20,-19,0,1,20,21, $\ldots$, 100.
* Výpis hodnot sin(x) v intervalu $<0,2\pi)$ se zadaným krokem $\delta$. Např. pro $\delta=0.1$ program vypíše sin(0), sin(0.1), sin(0.2) atd.
===== Domácí úkol =====
==== Lehká varianta ====
* Napište program **log.py** který metodou půlení intervalu spočítá logaritmus zadaného čísla
* **Vstup:** jedno kladné reálné číslo ze standardního vstupu. Označme ho $x$
* **Výstup:** jedno číslo, které je logaritmem $x$ o základu 10
* Pro výpočet použijte metodu půlení intervalu.
* Výsledek nalezněte s přesností na 8 desetinných míst (výpočet ukončíte pokud $|x_1-x_2|<0.000000001$).
* Pro prvotní nastavení krajních mezí platí následující pomůcky:
* pokud je $x>1$, pak levá mez může být 0 a pravá mez $x$
* pokud je $x<1$, pak levá mez může být $-\frac{1}{x}$ a pravá mez rovna 0
* Použití jakékoliv knihovní funkce (např. ''math.log'') není dovoleno, program volající cizí funkce nebude hodnocen.
==== Těžká varianta ====
* Napište program **subtraction.py**, který od sebe odečte dvě reálná čísla zadané v binární číselné soustavě
* **Vstup:** dvě řádky standardního vstupu, každá řádka obsahuje desetinné číslo v binární číselné soustavě ve tvaru 1.0101e-101
* **Výstup:** rozdíl čísel v binární soustavě nebo ''ERROR'' pokud nebyly vstupy zadané korektně.
* Řešení spočtěte přesně, nepoužívejte převod na reálné číslo v Pythonu, které může provést zaokrouhlení.
* Správný formát desetinného čísla:
* nenulové číslo začíná znaky '1.' (nebo záporné číslo znaky '-1.'), po kterých může následovat desetinná část čísla složená ze znaků '0' a '1', dále může následovat znak 'e' po kterém může následovat znak '-' a dále musí následovat celé číslo v binární formě reprezentující exponent.
* nulové číslo je reprezentováno pouze znakem '0'
* Řešení vypište ve stejném tvaru, jake je vstupní tvar desetinného čísla. Navíc nevypisujte zbytečné 0 před znakem "e", případně na konci čísla, kde se "e" nevyskytuje:
špatně - 1.010e100
správně - 1.01e100
* **Příklady:**Vstup:
1.01e11
1.01e11
Výstup:
0
Vstup:
1.1101e-1011
1.1
Výstup:
-1.011111111100011
Vstup:
1.1101
1.101e-1
Výstup:
1.
Vstup:
-1.1101e11
1.101e-1
Výstup:
-1.1110101e11
Vstup:
1.11011e1101
1.001e-101
Výstup:
1.110101111111111110111e1101
Vstup:
1.11011e
1.001e-101
Výstup:
ERROR