\[
\def\_#1{\mathbf{#1}}
\def\bb#1{\mathbb{#1}}
\]

Cílem prvních dvou úloh, půllitr a kelímek, je zformulovat si a vyřešit jednoduchou optimalizační úlohu, na kterou vystačíte se středoškolskými znalostmi a selským rozumem, případně trochou hledání na internetu. U druhé úlohy navíc pocvičit se v Matlabu.

===== Půllitr =====

Najděte rozměry půllitru, na jehož výrobu je třeba co nejméně skla. Půllitr má tvar válce bez horní podstavy. Tloušťku skla zanedbejte. Řešení bude odpověď celou větou. Součástí zprávy bude i stručný postup řešení.


===== Kelímek =====

Najděte rozměry kelímku, aby při daném objemu bylo na jeho výrobu potřeba co nejméně materiálu. Tloušťku stěn zanedbejte. Obecný kelímek má tvar komolého kužele s jednou (tou menší) podstavou. Poloměr spodní podstavy si označíme $r$, poloměr horní podstavy $R$ a výšku kelímku $h$. Podrobné úkoly:

  - V MATLABu napište funkci pro výpočet povrchu kelímku, jejímiž jedinými vstupními parametry budou $r$, $R$ a $V$.
  - Pro $V = 0.6$ vykreslete graf závislosti $S$ na poloměru horní podstavy $R$. Vykreslete závislost pro poloměry dolní podstavy $r = \{0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1\}$. Výsledný graf vložte do zprávy. Odevzdejte i kód v MATLABu, který daný graf generuje. 
  - Vykreslete 3D plochu závislosti S na r a R (r a R budou x a y osy grafu) pro hodnoty $r \in [0.1, 1]$ a $R \in [0.1, 1]$. Výsledný graf vložte do zprávy, MATLAB kód odevzdejte.
  - Libovolnou metodou (s možností využití MATLABu) nalezněte řešení úlohy s přesností minimálně na 2 desetinná místa. Součástí odpovědi musí být výsledná hodnota $r$, $R$, $h$ a $S$. MATLAB kód také odevzdejte.
  - Krátce diskutujte, zda se kelímky takového tvaru skutečně používají a pokud ne, jaké mohou být případně jejich nevýhody.


===== Maticová algebra =====

Cílem této úlohy je trochu se pocvičit v maticové algebře. To máte znát z prváku, jinak viz 2. kapitola skript.

  - Dokažte, že pro každou čtvercovou matici $\_A$ platí:
    - $\_A+\_A^T$ je symetrická,
    - $\_A-\_A^T$ je antisymetrická,
    - existuje právě jedna symetrická $\_B$ a právě jedna antisymetrická $\_C$ tak, že $\_A=\_B+\_C$,
    - $\_A^T\_A$ je symetrická.
  - Dokažte, že pokud je matice $\_I-\_A$ regulární, pak $\_A(\_I-\_A)^{-1} = (\_I-\_A)^{-1}\_A$.
  - Dokažte, že pro každé $\_A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ a $\_B\in\mathbb{R}^{n\times m}$ má matice $\displaystyle \_L = \left[\begin{array}{cc} \_I-\_B\_A & \_B \\ 2\_A-\_A\_B\_A & \_A\_B-\_I \end{array} \right]$ vlastnost $\_L^2=\_I$ (kde $\_L^2$ je zkratka pro $\_L\_L$).