\[
\def\_#1{\mathbf{#1}}
\def\x{\times}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\mat#1{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}
\def\matr#1{\begin{bmatrix*}[r]#1\end{bmatrix*}}
\]

===== NLLS: Kružnice =====

Je dáno $m$ bodů v rovině, $\_a_1,\ldots,\_a_m\in\R^2$. Hledáme 
kružnici se středem $\_c\in\R^2$ a poloměrem $r\ge 0$ takovou, že součet
čtverců vzdáleností bodů od kružnice je nejmenší.

Označme jako $\_x=(\_c,r)\in\R^3$ vektor parametrů kružnice.  Nechť
${\rm dist}(\_x, \_a)$ je orientovaná vzdálenost bodu $\_a$ od kružnice s parametry $\_x$.
Tedy $\lvert{\rm dist}(\_x, \_a)\rvert$ je vzdálenost bodu $\_a$ od
kružnice, přičemž pro $\_a$ vně kružnice je ${\rm dist}(\_x,\_a)>0$
a pro $\_a$ uvnitř kružnice je ${\rm dist}(\_x,\_a)<0$.  Chceme
minimalizovat funkci
\begin{equation}
f(\_x) = \sum_{i=1}^m {\rm dist}(\_x, \_a_i)^2
\label{eq:obj}
\end{equation}


==== Implementační úkoly ====

  - Napište funkci ''d = dist(x,A)'', kde ''x'' je vektor $3\times 1$, ''A'' je matice $2\times m$ obsahující body $\_a_1, \_a_2, ..., \_a_m$ a ''d'' je vektor $m\times 1$ takový, že ''d(i)'' je orientovaná vzdálenost bodu $\_a_i$ od kružnice s parametry $\_x$.
  - Implementujte funkci ''x_new = make_GN_iter(x,A)'', která provede jednu iteraci čisté (tedy s jednotkovou délkou kroku) Gauss-Newtonovy metody. 
  - Implementujte funkci ''[x_new,success] = make_LM_iter(x,A,mu)'', která provede jednu iteraci Levenberg-Marquardtovy metody (bližší popis funkcí je v jejich šablonách.)

Poznámky:
  * Pro práci na úloze máte k dispozici skript ''main.m'' a funkci ''fit_circle.m''.
  * Doporučujeme si napsat jednoduchý skript, který vám dovolí naklikat body $\_a_i$ a uložit si je do souboru ''.mat'' (bude se hodit funkce ''ginput''). Takto si připravte několik vhodných množin bodů, na kterých můžete zkoušet svůj kód.


==== Úkoly do zprávy ====

  - Pro $m\ge3$ a body $\_a_1, ..., \_a_m$ v obecné poloze, zkuste nalézt co nejobecnější podmínku charakterizující, ve kterých bodech $\_x$ je funkce $f$ diferencovatelná. Odpověď důvodněte.
  - Může se zdát, že iterační metody na nelineární nejmenší čtverce bez omezení (např. Gauss-Newtonovu a Levenberg-Marquardtovu metodu) nejde použít, protože máme omezení $r\ge0$. Vadí to? Co se stane, budeme-li toto omezení ignorovat? Můžou metody konvergovat k řešení se záporným $r$? Odpovědi odůvodněte.
  - Může mít pro nějaké body $\_a_1,\ldots,\_a_m$ funkce $f$ více lokálních minim s různou funkční hodnotou? Pokud odpovíte záporně, odůvodněte. Pokud odpovíte kladně, najděte příklad (body $\_a_1,\ldots,\_a_m$ a dvě lokální minima $\_x^1,\_x^2$ funkce $f$ s různou funkční hodnotou) a odůvodněte, proč $\_x^1,\_x^2$ jsou lokální minima (můžete použít argument, že když např. Gauss-Newtonova metoda zkonverguje do stacionárního bodu, tak tento bod je téměř jistě lokální minimum a není tedy třeba ověřovat definitnost Hessiánu). Do zprávy pak
    * exportujte (pomocí matlabského příkazu ''print -depsc obr.eps'' nebo ''print -dsvg obr.svg'') obrázek, ve kterém budou body $\_a_1,\ldots,\_a_m$ a dvě kružnice s parametry $\_x^1$ a $\_x^2$,
    * napište funkční hodnoty $f(\_x^1)$ a $f(\_x^2)$,
    * napište gradienty $\nabla f(\_x^1), \nabla f(\_x^2)$ (pokud by funkce v bodech $\_x^1$ příp. $\_x^2$ nebyla diferencovatelná, diskutujte a zkuste najít jiný argument, proč jsou body lokální minima).
  - (nepovinný úkol pro nadšence) Zatím jsme prokládání kružnice formulovali jako minimalizaci funkce \eqref{eq:obj} přes tři proměnné $\_x=(\_c,r)$, tedy  $$\min_{\_c\in\R^2,\,r\ge0} f(\_c,r) = \min_{\_c\in\R^2} \overbrace{\min_{r\ge0} f(\_c,r)}^{g(\_c)}.$$ Ale pokud je $\_c$ pevné, vnitřní minimalizaci přes $r$ lze vyřešit explicitně a napsat tak vzorec pro funkci $g(\_c)$. Tedy úlohu můžeme vlastně formulovat jako minimalizaci funkce $g$ přes proměnné $\_c\in\R^2$. Rozpracujte tuto myšlenku: odvoďte vzorec pro funkci $g$, implementujte iterační metodu (Gauss-Newtona a/nebo Levenberg-Marquardta) pro minimalizaci funkce $g$ a diskutujte, která formulace (dvě vs. tři proměnné) je výhodnější (např. porovnáním rychlosti/přesnosti iteračních metod příp. pracnosti implementace). 

/*  - Diskutujte, jaká iterační metoda je vhodná na minimalizaci funkce $f(\_x)$ a proč. Může čistá Gauss-Newtonova metoda na naší úloze divergovat? */

/*
derivací  pomocí počítačenajděte množinu $m\ge 3$ bodů $\{\_a_1, \_a_2, ..., \_a_m\}$ a takovou dvojici počátečních parametrů kružnice $\_x^{(1)}_0$ a $\_x^{(2)}_0$, aby algoritmus inicializovaný těmito parametry skončil v různých lokálních minimech. Do zprávy udělejte následující tabulku s obrázky (všechny elementy tabulky jsou obrázky exportované z matlabu, např. pomocí funkce ''print''):

|  body a kružnice $\_x^{(1)}_0$  | body a stav dokonvergovaný z $\_x^{(1)}_0$| graf ''f_history'' (kritérium v závislosti na indexu iterace) pro $\_x^{(1)}_0$| 
|  body a kružnice $\_x^{(2)}_0$  | body a stav dokonvergovaný z $\_x^{(2)}_0$| graf ''f_history'' (kritérium v závislosti na indexu iterace) pro $\_x^{(2)}_0$| 
*/

==== Postup prací: ====

  * Z [[https://gitlab.fel.cvut.cz/B0B33OPT/public/tree/master/cviceni/04_circle|gitlabu]]  si stáhněte šablony pro funkce k implementaci a pomocné funkce a skripty. 
  * Implementujte požadované matlabské funkce. 
  * Napište PDF zprávu a pojmenujte ji ''report.pdf'' 
  * Zabalte všechny soubory ''.m'' a soubor ''report.pdf'' do ZIP souboru a nahrajte je do [[https://cw.felk.cvut.cz/brute/|Brute]]. Udělejte ZIP soubor tak, aby se vaše soubory rozbalily rovnou do aktuálního adresáře, ne do nějakého podadresáře (jinak to nebude fungovat.)