Cvičení 7: Rekurze, třídění

Při rekurzivním volání volá funkce samu sebe. Aby nedošlo k nekonečné smyčce, musí toho volání obsahovat ukončovací podmínku. Obecně lze rekurzi zapsat

def funkce(promenna):
   if (ukoncovaci podminka):
      funkce(zmenena_promenna)         

Pomocí rekurze můžeme například implementovat for cyklus:

def recursivePrint(index, array):
    if (index < len(array) ):
        print(array[index], end=' ' );
        recursivePrint(index+1, array)
        print(array[index], end=' ' );
 
a = []
for i in range(10):
    a.append(i*i)
 
print("List je",a)
recursivePrint(0, a);

• Uvažujme pole, které může obsahovat jako prvky další pole, např.:

a=[1, 2, [3, [4, 5], 6, [7]], [8, 9], 10]

• Napište funkci flatten, která vytvoří jedno pole, které bude obsahovat všechny prvky z pole a vložené do tohoto pole.
• Výsledkem funkce $flatten(a)$:

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

• K testu prvku, zda je pole (list), použijte funkci type:

if type(x) is list:

• Napište funkci binomial(k,n), která počítá hodnotu $ n \choose k $
• Můžete využít vztah $ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} $
• Počáteční podmínky $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ a $\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n$

Napište rekurzivní výpočet Fibonacciho posloupnosti. Pro tuto posloupnost platí:

• $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
• První členy posloupnosti jsou $F_0 = 0$ a $F_1 = 1$.

Předchozí řešení je pomalé pro výpočet větších $n$. Důvodem je, že při rekurzivním volání dochází často k opakovanému výpočtu stejných členů posloupnosti.

Řešením je zapamatovat si již vypočítané hodnoty a ty použít:

• Funkce fib(n) si nejprve zjistí, jestli už je znám výsledek pro $n$
• Pokud ano, vrátí ho
• Pokud ne, vypočítá hodnotu posloupnosti pro $n$ a uloží ho do seznamu známých hodnot
• Známé hodnoty lze ukládat např. v globálním poli hint[]

Napište funkci fibFast(n) pro zrychlený výpočet Fibonacciho posloupnosti

• Porovnejte časy výpočtu fib(100) a fibFast(100)
• Jak byste lépe alokovali pole hint?

Máme tři věže (označme je $A$,$B$ a $C$), na kterých je rozmístěno $n$ disků o různých velikostech. Vždy platí, že menší disk smí být položen na větší disk, ne naopak. Na začátku je všech n disků na věži $A$, přičemž jsou seřazeny podle velikosti (největší leží dole, nejmenší nahoře). Cílem je přemístit disky tak, aby všechny ležely na věži $C$.

Uvažujme hrací karty .

• Máme karty čtyř barev, každá barva má dále karty 2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A
• Kartu budeme reprezentovat 1D polem, kde:
  • první prvek je barva karty (0,1,2,3). Tento prvek bude int
  • druhý prvek je typu string a je to hodnota karty, tedy např. “Q” nebo “1”
  • Příklad karty: [1,“1”], [2,“A”], [0,“K”]
• Pořadí karet v dané barvě je toto: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A, kde
  • 2 má nejmenší hodnotu
  • A má největší hodnotu
  • platí že $2<3$, $3<4$, … Q $<$ K, J $>$ 10, atd.

Napište funkci, který vzestupně třídí karty podle jejich barvy a podle jejich hodnoty.

• na vstupu je seznam (pole) karet
• funkce vrátí setříděné pole tak, že na začátku budou karty barvy 0, pak karty barvy 1,atd., přičemž v každé skupině budou karty setříděny podle jejich hodnot.
• Příklad:

cards = [  [3,"A"],  [3,"Q"],  [0,"2"],  [1,"10"]  ]

výsledek pro setřídění:

[  [0, "2"],  [1, "10"],  [3, "Q"],  [3, "A"]  ]

Seřaďte toto pole:

cards = [[0, 'Q'], [2, '10'], [1, 'K'], 
         [1, '8'], [2, '10'], [2, '4'], 
         [3, '4'], [0, '4'], [1, '3'], 
         [2, '5'], [0, 'K'], [3, '4'], 
         [1, 'J'], [0, '3'], [0, '9']]

Napište funkci, která vypíše expanzi polynomu $(x+y)^n$.

• Nápověda: $(x+y)^n = \sum_0^n {n \choose k} x^{n-k}y^k$
• Tip: místo výpisu může funkce vrátit pole reprezentující polynom (viz cvičení 4 )

• rekurzivní výpočet determinantu pomocí kofaktorové metody můžeme rozvinout determinant podle řádku či podle sloupce, což je pro relativně malé matice celkem efektivní metoda. Například podle řádku i

$ \det \mathbf {A} =\sum _{j=1}^{n}\ {a}_{ij}{C}_{ij}$ kde $ {C}_{ij}$ jsou kofaktory, tedy $ {C}_{ij}$ je $ (-1)^{i+j}$ krát determinant matice, která vznikne z A odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce.

• Napište program recurrent.py pro výpočet následující rekurentní funkce:
  • $R_n(x)=\frac{n}{n+1} \cdot R_{n-1}(x) + (-1)^n \cdot \frac{n+2}{n} \cdot R_{n-2}(x) + \frac{x}{n+2} \cdot R_{n-3}(x)$, přičemž
  • $R_0(x)=1$, $R_1(x)=2 \cdot x$ a $R_2(x)= 3 \cdot x$
• Program načte z první řádky standardního vstupu celé kladné číslo $n$ a z druhé řádky standardního vstupu reálné číslo $x$.
• Program na výstup vytiskne hodnotu $R_n(x)$.
• Ověření výsledku probíha s přesností na 8 desetinných míst.
• Program musí pracovat efektivně a umět spočítat hodnotu funkce $R$ i pro hodnoty n=100
• Program v souboru recurrent.py odevzdejte do odevzdávacího systému (úloha HW07).

Například pro vstup:

7
1.577

program vytiskne:

4.24302193

• Napište program bracket.py, který si ze standardního vstupu přečte číslo N, na druhé řádce číslo M, na třetí řádce číslo O
• Na standardní výstup vygeneruje všechny možné korektní uzávorkování s použitím N závorek typu '()', M závorek typu '[]' a O závorek typu '{}'
• Čísla M, N, O jsou celá čísla větší nebo rovna 0
• Pořadí jednotlivých řádků výstupu nehraje při vyhodnocení roli.
• Program v souboru bracket.py odevzdejte do odevzdávacího systému (úloha HW07).

Příklad I Vstup:

1
2
0

[]([])
()[][]
[[]]()
[][]()
()[[]]
[()][]
([])[]
[[()]]
[()[]]
[([])]
[[]()]
([[]])
[][()]
([][])
[]()[]

Příklad II. Vstup

1
1
1

([{}])
([]{})
([]){}
({[]})
({}[])
({})[]
()[{}]
()[]{}
(){[]}
(){}[]
[({})]
[(){}]
[()]{}
[{()}]
[{}()]
...