====  (DÚ1) Metoda nejmenších čtverců ====

\[
\def\Re{{\mathbb R}}
\]

** Co potřebujete udělat: **
  * Přečtěte si {{https://gitlab.fel.cvut.cz/B0B33OPT/public/blob/master/cviceni/01_mzda_a_teplota/01_mzda_a_teplota.pdf|zadání}} úlohy.
  * Z {{ https://gitlab.fel.cvut.cz/B0B33OPT/public/tree/master/cviceni/01_mzda_a_teplota | gitlabu}} si stáhněte vstupní data pro tuto úlohu ''mzdy.txt'' a  ''teplota.txt'' a šablony pro funkce ''wages_fit_model.m'' a ''temps_fit_model.m''.
  * Pro **Úkol 1** (predikce mzdy):
    * Převeďte úlohu v rovnici (2) na úlohu v rovnici (3). Napište si, jak bude vypadat matice **A** a jak vektor **b**.
    * Implementujte funkci ''wages_fit_model.m'', která ve smyslu rovnice (3) najde parametry **x** lineární funkce.   
    * Načtěte si data pomocí kódu níže a zobrazte si tato data spolu s nafitovanou přímkou. <code matlab>
Data = load('mzdy.txt', '-ascii'); 
t = Data(:, 1); % years
M = Data(:, 2); % wages
</code>
  * Pro **Úkol 2** (predikce teploty):
    * Převeďte úlohu v rovnici (5) na úlohu v rovnici (6). Napište si, jak bude vypadat matice **A** a jak vektor **b**.
    * Implementujte funkci ''temps_fit_model.m'', která ve smyslu rovnice (6) najde parametry **x** hledané lineární funkce.
    * Načtěte si data pomocí kódu níže. Použijte naimplementovanou funkci pro odhad parametrů **x** a zobrazte si v jednom grafu vstupní data a odhadnutou funkci.  <code matlab>
Data = load('teplota.txt', '-ascii'); 
t = Data(:, 1); % days
T = Data(:, 2); % temperature measurements
</code>

  * Vytvořte PDF soubor, ve kterém zodpovíte následující otázky:
    - Jaká je hodnota odhadu $M_{2009/2}$ hrubé průměrné mzdy pro druhý kvartál roku 2009 (pro funkci odhadnutou z dat mzdy.txt)? 
    - Z grafu v obr. 2 je vidět, že závislost naměřených teplot zhruba odpovídá sinusoidě superponované na lineární funkci \[
    \hat{G}(t) = y_0 + y_1 t + A \sin\left ( \omega t + \phi \right )\:.
\] Lineární funkce $y_0 + y_1 t$ modeluje sklon sinusoidy daný např. globálním oteplováním. Perioda sinusoidy odpovídá $365$ dnům. Amplituda $A$ a fáze $\phi$ sinusoidy jsou neznámé. Neznámé parametry jsou tedy čísla $y_0, y_1, A\in\Re$ a $\phi\in(0,2\pi]$. Metodu lineárních nejmenších čtverců nelze pro takto definovanou funkci použít, protože hodnota odhadované funkce závisí na parametru $\phi$ nelineárně. My jsme namísto funkce $\hat{G}(t)$, použili funkci $\hat{T}(t)$ v rovnici (4), která závisí na všech svých parametrech lineárně. Fitování funkce $\hat{T}(t)$ lze ospravedlnit tím, že pro každou čtveřici $(y_0,y_1,A,\phi)$ existuje čtveřice $(x_0,\ldots,x_3)$ taková, že obě funkce jsou shodné, tj. že platí $\hat{T}(t) = \hat{G}(t)$, $\forall t\in\Re$. **Vaším úkolem je toto tvrzení dokázat**. 

  * Zabalte ''.m'' funkce a ''.pdf'' soubor do ZIP souboru a nahrajte je do [[https://cw.felk.cvut.cz/brute/ | upload systému]]. Udělejte ZIP soubor tak, aby se vaše soubory rozbalily rovnou do aktuálního adresáře, ne do nějakého podadresáře (jinak to nebude fungovat.)