Zpětná Radonova projekce se využívá k rekonstrukci dat naměřených z CT, více si přečtěte na wiki CT a o samotné Radonově transformci.
Poznámka: Pokud nebude poslední parametr zadán (použijte funkci exist) funkce vrátí pouhou zpětnou projekci bez filtrace. Úhly zadávejte ve stupních. Dodržte rozhraní funkce dané šablonou.
V tomto cvičení se seznámíte s rekonstrukcí obrazu v počítačové tomografii, zpětnou projekcí a filtrovanou zpětnou projekcí. Radonův obraz funkce (obrázku) f(x,y) budeme značit <latex>J(\theta,p)</latex>.
Naivním způsobem jak rekonstruovat obrázek <latex> f(x,y)</latex> je zpětná projekce. Přibližná rekonstrukce <latex> \hat{f}(x,y)</latex> se vypočítá jako <latex> \hat{f}(x,y)=\int_0^\pi J(\theta,p) d \theta </latex> vztah mezi souřadnými soustavami je v následujících rovnicích.
<latex> p=x\cos\theta+y\sin\theta ~~~~;~~~~ q=-x\sin\theta+y\cos\theta</latex>
<latex> x=p\cos\theta-q\sin\theta ~~~~~;~~~ y=p\sin\theta+q\cos\theta</latex>
Přesnou rekonstrukci, tedy inverzní Radonovu transformaci lze provézt pomocí filtrované zpětné projekce. Označme <latex>S(\theta,\omega)</latex> 1D Fourierovu transformaci Radonova prostoru <latex> J(\theta,p)</latex> po sloupcích, tedy přes proměnnou p tak že
<latex> S(\theta,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}J(\theta,p)e^{-2j\pi\omega p} dp </latex>
Rekonstrukci f(x,y) vypočítáme jako zpětnou projekci filtrovaného Radonova obrazu <latex>J^*(\theta,p)</latex>
<latex> f(x,y) =\int_0^\pi J^*(\theta,p) d \theta</latex>, kde <latex>J^*(\theta,p)</latex> je <latex>J_\theta(p)</latex> po filtraci takzvaným “ramp” filtrem $H = |\omega|$, $h=\mathcal{F}^{-1}\{|\omega|\}$:
$J^*(\theta,p)=\mathcal{F}^{-1}\{|\omega|\mathcal{F}\{J_\theta(p)\}\} = \mathcal{F}^{-1}\{|\omega|\}*J_\theta(p)$,
kde <latex>\mathcal{F}</latex> je symbol pro Fourierovu transformaci a <latex>\ast</latex> operátor konvoluce, zde podle 'p'.
Ramp filtr sice teoreticky vede na ideální rekonstrukci, ale má problematické praktické vlastnosti. Protože se jeho zesílení zvyšuje s frekvencí, zesiluje šum. Proto se v praxi používá v kombinaci s okny, která omezí jeho frekvenční rozsah, například Hammingovo okno <latex> \omega_h(n) =0.54-0.46\cos{\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)} </latex> nebo Shepp-Loganovo (sinc) okno <latex> \omega_s(n) =\frac{\sin{\left(\frac{n}{N}\right)}}{\frac{n}{N}} </latex> kde N je délka filtru.