Tato kapitola poskytuje potřebné informace o instalovaných modelech včetně jejich matematického popisu.
2.1.1.) Kermack-McKendrikův (KMK) model epidemií
Tento Kermack-McKendrickův model je nejjednodušším modelem pro modelování epidemií. Předpokládá, že obyvatelstvo můžeme rozdělit do tří skupin:
Někdy bývá přidávána ještě čtvrtá skupina očkovaných v.
Model předpokládá splnění několika požadavků:
Matematický popis
Proměnná | Popis |
x | počet zdravých jedinců |
y | počet nemocných jedinců |
z | počet jedinců po nemoci |
v | počet očkovaných |
N | celková velikost populace |
b | pravděpodobnostní koeficient onemocnění |
c | rychlostní koeficient uzdravení |
k | koeficient rychlosti a účinnosti očkování |
Z druhé rovnice vyplývá podmínka pro vznik epidemie: x0 > c/b.
Nevýhody modelu:
Simulinkové schéma
Obr.2.1. Blokové schéma KMK modelu
Tento model opět vychází z předpokladů platících pro základní KMK modelu, pouze inkubační doba zde není zanedbatelně krátká. Proto je nutno navíc uvažovat vliv přirozené obměny obyvatelstva. Při studiu AIDS můžeme rozlišit čtyři skupiny obyvatelstva:
Dříve se předpokládalo, že se AIDS pohlavním stykem šíří především mezi homosexuální populací. Dnes se ukazuje, že riziko je stejné i u heterosexuálů. Zde uvedený model platí pro homosexuální populaci. Odhad parametrů modelu provedli Anderson a May v roce 1986 z dat o 6875 mužích na klinice v San Francisku.
Matematický popis
Proměnná | Popis | Proměnná | Popis |
x | počet zdravých jedinců | e | pravděp. přesunu ze zdravých do HIV+ |
y | počet HIV+- roznašečů | d | úmrtnost na AIDS |
a | počet jedinců nemocných na AIDS | v | rychlost přesunu z HIV+ do nemocných |
z | počet HIV+, kteří nemoc neroznášejí | p | část nemocných, kteří dále roznášejí nemoc |
B | rychlost přibývání zdravých | u | přirozená úmrtnost |
k | pravděp. získání infekce k=ey/(x+y+z+a) | c | počet sexuálních partnerů |
Simulinkové schéma
Obr.2.2. Blokové schéma modelu epidemie AIDS
2.1.3.) Model epidemie venerických chorob
Tento model vychází ze základního KMK modelu a popisuje epidemie obecných venerických nemocí v heterosexuální populaci. Základní model je rozšířen o charakteristické rysy venerických nemocí:
Na základě těchto faktů je možno model zjednodušit proti základnímu modelu vyloučením stavu "po nemoci".
Matematický popis
Proměnná | Popis |
x | počet zdravých jedinců |
y | počet nemocných jedinců |
r | pravděpodobnostní koeficient onemocnění |
a | rychlostní koeficient uzdravení indexy m,z - muži,ženy |
Tento model lze zjednodušit za pomoci vztahů
(kde Nm, Nz je celkový počet mužů, žen) na
Tento model má dva rovnovážné stavy:
Aby ye2 > 0 musí platit:
Pro rovnovážné stavy xe (počet zdravých) platí:
Simulinkové schéma
Obr.2.3. Blokové schéma modelu venerických chorob
2.1.4.) Modifikovaný KMK model epidemií
Tento model je modifikací základního KMK modelu a odstraňuje jednu jeho nevýhodu - neomezený růst epidemie s rostoucím počtem nemocných. Člen charaktrizující rychlost přibývání nemocných ze základního modelu b*y(t) je nahrazen členem b*y(t)/(x(t)+y(t)), pro který platí:
Tedy růst je omezený.
Matematický popis
Proměnná | Popis |
x | počet zdravých jedinců |
y | počet nemocných jedinců |
z | počet jedinců po nemoci |
b | pravděpodobnostní koeficient onemocnění |
c | rychlostní koeficient uzdravení |
Simulinkové schéma
Obr.2.4. Blokové schéma modifikovaného KMK modelu
Kardiovaskulární systém můžeme rozdělit do dvou základních oddílů:
Srdce je úplně rozděleno na pravou a levou část, proto lze celý krevní oběh rozložit na dva dílčí okruhy : malý plicní a velký systémový. Malý krevní oběh vede odkysličenou krev z pravého srdce do plic a zpět do levé síně, systémový oběh začíná v levém srdci, zásobuje okysličenou krví orgány a vrací ji odkysličenou do pravá síně. Obě poloviny srdce se dále dělí na síň a komoru, aby se zamezilo zpětným tokům, jsou tyto části odděleny chlopněmi. Stejně tak jsou odděleny i výstupní tepny od komor. Cévní oddíl je v malém i velkém oběhu tvořen tepnami, tepénkami, systémem vlásečnic, žilkami a žilami. Tepny se vyznačují malým objemem krve a velkým odporem, kladeným proudění krve. Kapiláry jsou drobné cévy, jejichž tenké stěny jsou přizpůsobeny k přestupu látek mezi krví a intersticiálním prostorem. Žíly tvoří kapacitní část řečiště, mají velkou poddajnost a proto je v nich uložena většina krve. Toku krve kladou malý odpor, proto je v nich mnohem menší tlak než v tepnách.
Model se skládá z deseti kompartmentů, které odpovídají jednotlivým segmentům krevního oběhu a jsou v blokovém schématu modelu srdeční frekvence (obr.2.5.) označeny čísly 1-10. Ostatní bloky na obr.2.6. modelují toky krve mezi segmenty. Každý ze segmentů je charakterizován svým tlakem a objemem.
Obr.2.5. Blokové znázornění modelu srdeční frekvence
Podle Hookova zákona platí pro vztah mezi těmito veličinami v j-tém segmentu:
Vj ... objem kompartmentu [m3]
VUj... zbytkový objem kompartmentu [m3]
pj ... tlak v kompartmnentu [Pa]
Cj ... poddajnost [m3/Pa]
Objem kompartmentu je dán rovnicí kontinuity, změna jeho objemu se rovná rozdílu přítoku Fij [m3/s] a odtoku Fjk [m3/s]:
Pro jednotlivé toky platí :
Rij .... odpor kladený toku krve [Pa*s/m3]
Modifikace základních vztahů
Srdeční síně a komory jsou aktivní segmenty, generují tlakový spád. Hookův zákon je modifikován do tvaru:
a(t) ... spouštěcí mechanismus
Mezi síněmi a komorami resp. komorami a výstupními tepnami jsou uloženy chlopně, které brání zpětnému toku v případě, když by k němu podle tlakového gradientu mělo dojít.
Tepny jsou cévy s velmi elastickými stěnami, které se mohou roztáhnout a akumulovat energii, kterou při poklesu tlaku vracejí krvi (pužníkový efekt). Tento jev je modelován rovnicí :
Lj ... indukčnost [Pa*s2/m3]
Oproti tepnám jsou žíly velmi poddajné, její poddajnost se ještě dvacetkát zvýší, poklesne-li jejich objem pod zbytkovou hodnotu. Kromě toho se s objemem žil mění i odpor, který kladou toku krve. Klesá s druho mocninou poměru skutečného a zbytkového objemu žilního segmentu.
Modelování zkratů
Model obsahuje kromě bloků odpovídajících segmentům hlavního krevního oběhu (označeny čísly 1-8 na obr.2.6.) i bloky, modelující zkraty.
Blok 9 na obr.2.6. modeluje bronchiální oběh mezi aortou a levou síní staví tak pravé a levé srdce částečně paralelně.
Blok 10 na obr.2.6. modeluje periferní zkrat. Za normálních okolností neexistuje, vzniká úrazem a při dialýze, blok může sloužit i jako zástupná větev pro studium vlivu toku krve jednotlivými orgány odděleně od celku.
Bloky tok73 a tok51 modelují fetální zkraty ductus arteriosus resp. foramen ovale. U zdravého dospělého člověka nejsou přítomny, mohou se však vyskytnout jako vrozené vady.
Parametry modelu jsou nastaveny tak, že jsou všechny zkraty standardně uzavřeny, pro jejich zapojení je třeba v bloku změna parametrů nastavit čas otevření a zavření zkratu. Odpory ve větvích zkratů jsou nastaveny tak, aby každým z nich při samostatném otevření protékalo přibližně 10 % hlavního toku.
Simulinkové schéma
Obr.2.6. Blokové schéma pulsního modelu
Organismus reaguje na zvýšené fyzické zatížení zvýšením minutového srdečního objemu a redistribucí toku krve jednotlivými tkáněmi. Změna minutového srdečního objemu je dána změnou srdeční frekvence a tepového objemu. Ten se u každého člověka může značně lišit, u osob s dobrou fyzickou kondicí je samozřejmě vyšší. Srdeční frekvence tedy nemůže být měrou výkonu srdce, její výhodou je snadná měřitelnost a fakt, že je v určitých mezích lineárně závislá na zatížení.
Z fyziologických výzkumů plyne, že odezva srdeční frekvence na změnu fyzického zatížení má dvě složky. První je rychlá, nezávislá na velikosti zatížení a je vyvolána inhibicí vágu. Druhá složka je pomalejší, má komplexní neurohumorální charakter a roste se zatížením.
Struktura modelu vychází z fyziologického rozboru. Model je složen ze dvou větví - rychlé a pomalé, kterým odpovídají stavové proměnné x1 a x2.
Proměnná u1 na vstupu pomalé složky odpoví-dá přímo fyzické zátěži ve wattech, vstup u2 rychlé větve je jednotkový pro nenulové vstupní zatížení, jinak je nulový.
Model je popsán pomocí čtyř konstant :
Kref ... odpovídá růstu srdeční frekvence v ustáleném stavu při vzrůstu fyzické zátěže o 1 W [Hz/W]
K1 ... zesílení rychlé složky modelu [Hz]
Ti ... časová konstanta rychlé větve [s]
T1 ... časová konstanta pomalé větve [s]
Hodnoty konstant K1 [Hz] a T1 [s] jsou rozhodující pro odezvu modelu během první minuty, Kref [Hz/W] a Ti [s] se uplatní až po této době. Vyšší fyzické kondici odpovídá nižší Kref [Hz/W].
Blok saturace, omezující maximální růst srdeční frekvence modeluje dosažení kyslíkového stropu.
Simulinkové schéma
Obr.2.7. Blokové schéma modelu srdeční frekvence
Baroreflex patří mezi základní mechanismy regulace arteriálního tlaku. Ve srovnání s ostatními typy regulace se vyznačuje velkou rychlostí odezvy na změny tlaku a velkým zesílením.
Jeho mechanismy jsou výhradně nervové, reflexní dráha začíná v baroreceptorech, uložených v tepnách hrudníku a krku a nervovými drahami vede do kardioinhibičního a vazokonstrikčního centra v prodloužené míše. Zvýšené tlakové buzení receptorů vede k zvýšení frekvence vzruchů na vstupech těchto center. Toto zvýšení způsobí vyšší aktivitu kardioinhibičního centra a pokles aktivity centra vazokonstrikčního. Následný pokles srdeční frekvence a vazodilatace způsobí pokles arteriálního tlaku. Nízká hodnota tlaku působí opačně, vede ke zvýšení srdeční frekvence, vazokonstrikci a následovně k růstu tlaku. Citlivost tohoto regulačního obvodu je maximální v okolí normální hodnoty středního arteriálního tlaku.
Přesto, že je baroreflex schopen velmi dobře regulovat arteriální tlak, existují v jeho denním záznamu fluktuace. Ty jsou přisuzovány změnám zesílení v regulační smyčce - tzv. baromodulaci.
Popis modelu a význam parametrů
Základem je zjednodušený model systémového krevního oběhu. Skládá se ze dvou kompartmentů, které představují poddajné části tepenného a žilního řečiště. Objem tepenné části Va [ml] je dán integrací rozdílu mezi srdeční výdejem Fh [ml/s] a periferním tokem F [ml/s] , objem žilní části Vv [ml] je dán integrací opačného rozdílu.
Tlak v tepnách p [mmHg] je modelován jako nelineární funkce objemu, tlak v žilní části pv [mmHg] je dán podílem objemu venózního segmentu Vv [ml] a poddajnosti žilního segmentu Cv [ml/mmHg].
Srdeční výdej FH [ml/s] je součin srdeční frekvence fh [Hz] a tepového objemu Vs [ml].
Tepový objem Vs [ml] je určen nelineární funkcí venózního tlaku (blok označený pV --> Vs) v blokovém schématu. Pro nízké hodnoty vénozního tlaku platí téměř přímá úměrnost mezi tepovým objemem Vv [ml] a venózním tlakem pv [mmHg]. Při vyšších hodnotách venózního tlaku dochází k nasycení tepového objemu.
Periferní tok F [ml/s] je zjednodušeně modelován jako podíl arteriálního tlaku p [mmHg] a periferního odporu Rp [mmHg*s/ml].
Model krevního oběhu je doplněn bloky, které modelují baroreflex. Ten je určen jako nelineární funkce arteriálního tlaku (BAR) a násoben modulací (MOD). Vliv baroreflexu na srdeční frekvenci, periferní odpor a žilní objem je určen konstantami BF,BR a BV.
Funkce baroflexu je v modelu simulována třemi základními změnami:
Aby bylo možno ověřit regulační vlastnosti baroreflexu, je model doplněn blokem, který generuje skok tepenného tlaku.
Simulinkové schéma
Obr.2.8. Blokové schéma modelu baroflexu
Hlavním úkolem dýchání je zajistit přísun kyslíku do tkání a odstraňování vytvořeného CO2. První etapou dýchání je plicní ventilace, výměna plynů mezi alveolárním a atmosferickým vzduchem. V plicích dochází k výměně plynů ve směru jejich parciálních tlaků mezi alveolárním vzduchem a krví, CO2 vystupuje z krve a O2 je absobován. Kyslík je do tkání transportován především vázaný na hemoglobin, při transportu C02 se navíc uplatňuje jeho rozpustnost a tvorba karbaminosloučenin. Ve tkáních dochází k difuzi plynů mezi kapilárami a tkáňovým mokem. V důsledku opačného spádu parciálních tlaků postupuje CO2 a O2 opačným směrem, než v plicích.
Model se skládá ze dvou základních částí :
Řízená soustava se skládá ze tří kompartmentů :
Součástí mozkového kompartmentu je subkompartmentment mozkomíšního moku. Součástí modelu je i výpočet toků krve mezi těmito kompartmenty v závislosti na jejím chemickém složení. Ventilace alveol je zjednodušeně modelována jednosměrným proudem vzduchu. Tento proud je určován regulací na základě složení krve a mozkomíšní tekutiny.
2.2.2.1.) Model regulace dýchání
Plicní ventilace je modelována kompartmentem označeným "Plice". Změny koncentrací dýchacích plynů v alveolech (FA) jsou dány parametry :
KL .. objem alveol [L]
Fi .. objemový zlomek plynu X ve vdechovaném vzduchu [X]
a součinem rozdílu mezi koncentrací dýchacích plynů v žilní (Cv(X)) a tepenné krvi (Ca(X)) a celkového toku krve Q.
Parciální tlaky plynů v alveolárním vzduchu jsou dány součinem jejich koncentrací a atmosferického tlaku, sníženého o parciální tlak vodních par.
V tomto bloku je dále na základě inspiračního dechového toku určován tok expirační. Kromě těchto veličin je v tomto bloku určováno složení arteriální krve, která opouští plíce. Množství kyslíku je určeno jeho rozpustností (al) a vazbou na hemoglobin (Hb(O2)). Ta je určena krevní kyslíkovou kapacitou (Hb) a závislostí na pH krve (Bohrův efekt). pH krve je určováno Hennderson-Hesselbalchovou rovnicí. Množství kysličníku uhličitého v krvi je určen jeho rozpustností standardním bikarbonátovým obsahem (BHCO3) i vazbou na hemoglobin. Modelovaná disociační křivka zahrnuje Haldaneův efekt. Množství krevního dusíku je dáno pouze jeho fyzikální rozpustností.
Bloky označené "Mozek" a "Ostatni tkane" určují koncentrace a parciální tlaky dýchacích plynů v příslušných kompartmentech a ve výstupních žilách. Koncentrace plynů jsou určeny jejich produkcí MR(CO2)) resp. spotřebou (MR(O2)), objemem kompartmentů a součinem toku krve (mozkem QB, tkáněmi Q-QB) a arteriovenózní diference v koncentracích. U mozku se navíc uplatňuje výměna s mozkomíšním mokem, úměrná rozdílu parciálních tlaků a difuznímu koeficientu D.
Parciální tlaky kyslíku a dusíku jsou ve tkáních určovány z koncentrací pouze na základě jejich rozpustnosti, u kysličníku uhličitého se uplatňuje i standardní bikarbonátový obsah tkání. Koncentrace plynů ve výstupních žilách jsou určovány stejně, jako je tomu v případě plicního kompartmentu a tepen.
Kromě těchto bloků, které modelují distibuci O2, CO2 a N2 v těle obsahuje model bloky, které podle parciálních tlaků kyslíku a kysličníku uhličitého určují podle empiricky získaných vztahů celkový tok krve Q a tok mozkem QB.
V modelu jsou zahrnuta i dopravní zpoždění mezi bloky, způsobená omezenou rychlostí toku krve. Druhý zakladní oddíl modelu - regulátor, je modelován blokem "Rizeni". V tomto bloku je z koncentrací H+ iontů v arteriální krvi a mozkomíšním moku a parciálního tlaku kyslíku v arteriální krvi pomocí konstant KCCSFH, KCCaH a KCpaO2 určován inspirační tok vzduchu VI.
Simulinkové schéma
Obr.2.9. Blokové schéma modelu regulace dýchání
Žaludek je důležitou složkou trávicí soustavy. Slouží jako rezervoár potravy a produkuje žaludeční šťávu, která je důležitou složkou v procesu trávení. Jejími hlavními složkami jsou pepsinogeny a žaludeční kyselina. HCl vytváří kyselé prostředí propřeměnu pepsinogenů na pepsiny (uplatňují se při trávení bílkovin), kromě toho se uplatňuje při vstřebávání vápníku některých vitamínů a chrání trávicí soustavu před většinou choroboplodných zárodků.
Pro správnou funkci žaludku je důležitá regulace produkce žaludeční kyseliny. Sekrece probíhá ve třech fázích : cefalické, žaludeční a střevní. Předkládaný model simuluje pouze nejdůležitější etapu - žaludeční. V důsledku přítomnosti potravy v žaludku dochází k podstatnému zvýšení produkce kyseliny. Roztažení stěn žaludku a chemická změna jeho obsahu podněcuje G-buňky žaludeční stěny ke zvýšené produkci hormonu gastrinu. Krevním oběhem se dostává gastrin do parietálních žaludečních buněk, kde stimuluje produkci HCl.
2.2.3.1.) Regulace žaludeční kyselosti
Model je členěn do tří oddílů, v prvním je sledován objem žaludku, ve druhém koncentrace gastrinu v krvi a ve třetím pH v žaludku (resp. koncentrace H+ iontů).
Pro objem žaludku platí :
kde
Vs ... objem žaludku [L]Q ... příjem potravy [L/s]
Qs ... příjem slin [L/s]
iv ... příjem žaludečních šťáv, je roven podílu produkce kyseliny a její koncentrace [L/s]
R ... časová konstanta vyprazdňování [s]
Pro koncentraci gastrinu v krvi platí :
kde
Gc ... koncentrace gastrinu v krvi [ng/L]
Vb ... objem krve [L]
k ... míra deaktivace gastrinu [L/s]
igh ... produkce gastrinu ovlivněná koncentrací H+ iontů v žaludku [ng/s], určí se podle následujícího vztahu:
kde
Kp ... míra produkce gastrinu [ng*L/s*mol]
Hc+ ... koncentrace H+ iontů [mol/L]
Při nulové koncentraci H+ je igh maximální, s rostoucí Hc+ klesá.
igv ... produkce gastrinu [ng/s] ovlivněná objemem žaludku. Produkce začíná při dosažení prahového objemu V0 [L].
kde
Kd ... míra produkce gastrinu [ng*L/s*mol]
Pro koncentraci H+ iontů v žaludku platí následující vztah:
kde
ihf ... příjem H+ iontů potravou [mol/s], lze určit podle následujícího vztahu:
ihs ... příjem H+ iontů ze slin [mol/s], lze určit podle následujícího vztahu:
ihr ... produkce stimulivaná gastrinem [mol/s], její určení lze provést použitím následujícího vztahu.
Produkce je přímo úměrnná Gc až do určité meze, kdy dochází k nasycení :
kde
Kg ... míra produkce HCl [mol*L/ng*s]
Model umožňuje simulovat změny sledovaných veličin během 24 hodinového cyklu příjmu potravy pomocí tří pulsů veličiny Q, generovaných bloky snídaně,oběd, večeře.
Simulinkové schéma
Obr.2.10. Blokové schéma regulace žaludeční kyselosti
Primární funkcí ledvin je stabilizace složení, osmolarity a objemu extracelulární tekutiny resp. krve. Schopností změnou objemu krve měnit arteriální tlak se ledviny zařazují do komplexního mechanismu stabilizace tlaku. Jejich odezva je relativně pomalá, avšak dlouhodobě stabilní (bez adaptace).
Regulační smyčka vychází z ledvin, které na zvýšený tlak reagují zvýšenou funkcí, snížují tím krevní objem a následně i střední systémový (plnící) tlak. Tím se snižuje žilní návrat krve resp. její srdeční výdej, což má za následek pokles tepenného tlaku. Při příliš nízkém tlaku naopak činnost ledvin klesá, objem krve a tím i tlak roste.
Popsaná schopnost ledvin je určena průběhem tzv. renální křivky, která určuje množství produkované moči. Křivka začíná na x-ové ose přibližně při tlaku 80 mmHg a s rostoucím tlakem rychle roste. Prudký sklon křivky umožňuje citlivě reagovat na změny tlaku. Za určitých okolností (např. při změně objemu ledvin, glomerulární filtrace ...) může být tato křivka zploštěna a posunuta vpravo, což má za následek tzv. renální hypertenzi.
Předložený model umožňuje sledovat funkci ledvin při konstantním příjmu tekutin. Vzhledem k tomu, že nejsou zahrnuty všechny ostatní ("rychlejší") mechanismy regulace arteriálního tlaku, jsou významné pouze ustálené hodnoty veličin.
2.2.4.1.) Stabilizace krevního tlaku
Vztah mezi arteriálním tlakem (pA) a výstupem ledvin (UO) je dán kvadratickou aproximací statické charakteristiky :
Normální hodnoty parametrů jsou :
Goldblattovu hypertenzi charakterizují hodnoty :
Změna objemu ECF je dána rozdílem množství přijímané tekutiny (WS) a produkované moči :
Z objemu ECF je odvozen objem krve (VB) a plnící tlak (pMS) :
Žilní návrat krve (VR) je určen plnícím tlakem, tlakem pravé síně (pRA) a odporem žilního návratu (RVR). Je roven srdečnímu výdeji HZV :
Arteriální tlak je dán tokem (srdečním výdejem) a periferním odporem (RP) :
Periferní odpor je modelován dvěma složkami, změna první je přímo úměrná (KRP) odchylce srdečního výdeje od standardní hodnoty (HZV0).
Druhá složka je přímo úměrná (KRPa) arteriálnímu tlaku představuje autonomní regulaci průtoku krve. Je doplněna jednokapacitní soustavou s časovou konstantou T.
Odpor žilního návratu je modelován svou základní složkou (RVR0) a odvozením od periferního odporu (konstanta KRVR).
Z hodnot odporu žilního návratu a plnícího tlaku je empirickou funkcí s parametry a40, a41 a KpRA odvozován tlak v pravé srdeční síni.
Simulinkové schéma
Obr.2.11. Blokové schéma modelu stabilizace krevního tlaku
Základní stavební jednotkou svalu jsou svalová vlákna, která tvoří snopečky a snopce, obklopené vazivem, které na konci svalu přehází ve šlachu. Vazivo způsobuje, že sval má kromě aktivních vlastností také vlastnosti pasivní, určené sériovou a paralelní poddajností.
Svalová buňka obsahuje 1-2 tisíce paralelně uložených myofilament, tvořených sériově zapojenými sarkomerami. Jejich hlavní složkou jsou fibrily bílkovin aktinu a myozinu, které mohou při aktivaci vytvořit aktomyozin, jednotlivá filamenta se po sobě posouvají a vyvolávají tak kontrakci svalu. Kromě toho sarkomera obsahuje další bílkoviny - troponoin a tropomyozin, které se uplatňují při řízení kontrakce.
Kontrakci svalu vyvolávají vzruchy, přiváděné motorickými nervy do nervosvalové ploténky. Odtud se vzruch šíří po svalovém vláknu a způsobuje uvolnění Ca2+ iontů z terminálních cisteren. Vápník uvolňuje vazbu troponinu a trpomyozinu a umožňuje tak kontrakci.
Z hlediska celkového průběhu kontrakce svalu je důležitá frekvence budících impulsů. Jeden impuls vyvolává svalové trhnutí, více impulsů s dostatečně krátkou periodou vyvolává sčítaní odezev svalu a tzv. tetanický stah.
Základem modelu jsou vztahy, odvozené na základě analogie mezi svalem a jeho mechanickým modelem, složeným ze zdroje síly a pružina elementů viskózního tření, které modelují jeho pasivní vlastnosti.
Je třeba si uvědomit, že model je složen převážně z lineárních bloků, zatímco vztahy mezi veličinami svalu jako je délka, zkrácení nebo rychlost kontrakce jsou ve skutečnosti nelineární. Platnost modelu je tedy omezena na okolí pracovního bodu, určeného autory.
První částí modelu je oddíl, který generuje pulsy koncentrace Ca2+ iontů. Pulsy jsou modelovány skokovým růstem koncentrace a jejím následovným exponenciálním poklesem s časovou konstantou TCa. Uživatel může zvolit počet pulsů N, periodu T a amplitudu st. Následující blok saturace omezuje vliv koncentrace Ca2+ na kontrakci.
Následující blok určuje průběh síly generované svalem Fc soustavou prvního řádu s časovou konstantou TFc. Podobně jsou odvozen průběhy celkové síly F (časová konstanta TF) a zkrácení kontraktilního aparátu resp. prodloužení sériové poddajnosti dl (časová konstanta TL a faktor a).
Simulinkové schéma
Obr.2.12. Blokové schéma modelu kosterního svalu
Stabilní hladina glukózy v krvi je důležitá pro většinu životních funkcí organismu. Proto je citlivě regulována složitým mechanismem, založeným především na funkci hormonů pankreatu - inzulínu a glukagonu.
Inzulín je produkován beta buňkami slinivky břišní. Účinek je založen na jeho schopnosti podporovat vstup glukózy do buněk a její utilizaci. Ve svalech a játrech podporuje inzulín tvorbu zásobní látky glykogenu za současného poklesu glykémie. Podnětem pro produkci inzulínu je vysoká glykémie, jeho účinky jsou hypoglykemizující.
Glukagon je produkován alfa buňkami slinivky břišní. Působí jako antagonista inzulínu, stimuluje mj. rozklad glykogenu za současného růstu glykémie. Podnětem pro produkci glukagonu je nízká glykémie, jeho účinky jsou hyperglykemizující.
Poruchy systému stabilizace glykémie způsobují některá vážná onemocnění. Nejznámnější - diabetes mellitus může být způsoben sníženou produkcí inzulínu (diabetes prvního typu) nebo sníženou citlivostí tkání na inzulín (diabetes druhého typu). Enormní produkce inzulínu beta buňkami způsobuje tzv. hyperinzulínii.
Model je složen ze tří kompartmentů, ve kterých sledujeme koncentrace glukózy, inzulínu a glukagonu. Pro změnu koncentrace glukózy platí :
kde
Vg ... rozpustný objem (objem ECT) [L]
cG ... koncentrace glukózy [mmol/L]
igg ... příjem glukózy trávením [mmol/L]
igi ... příjem glukózy infuzí [mmol/min]
K1 ... závislost produkce na koncentraci glukagonu [mmolG*L/min*jedn.I]
cGA ... koncentrace glukagonu [nmol/L]
Kgu ... míra utilizace ve tkáních [L/min]
Klm ... míra tvorby glykogenu [mmolG*L/min*jedn.I]
Kk ... míra výstupu do moči [L/min]
egk ... výstup glukózy močí [mmol/min]. Za normálních okolností je nulový, překročí-li však glykémie určitou kritickou mez cGk [mmol/L], začíná být glukóza vylučována.
Pro změny koncentrace inzulínu platí :
kde
iib ... bazální produkce inzulínu [jedn.I/min]. Za normálních okolností je tato hodnota zanedbatelná, v modelu však slouží k simulaci hyperinzulínie.
iii ... infuze inzulínu [jedn.I/min]
Ki ... míra deaktivace inzulínu [L/min]
Kb ... míra tvorby inzulinu v zavislosti na glykémii [jedn.I*L/min*mmolG]. Snížením hodnoty tohoto parametru je možné simulovat diabetes mellitus prvního typu.
iig ... produkce inzulínu, závislá na koncentraci glukózy [jedn.I/min]. Při nízké glykémii je nulová, po překročení meze cGb [mmol/L] roste přímo úměrně.
Pro změny koncentrace glukagonu platí :
kde
igab ... bazální produkce glukagonu [L/min]
igai ... infuze glukagonu [L/min]
Kga ... míra deaktivace glukagonu [L/min]
igag ... produkce glukagonu, závislá na koncentraci glukózy [nmol/min]. Při nízké koncentraci je nejvyšší, s rostoucí glykémií klesá přímo úměrně (s konstantou úměrnosti Ka [nmol*L/min*mmolG]) a po překročení mezní hodnoty glykémie cGa [mmol/L] je nulová.
Simulinkové schéma
Obr.2.13. Blokové schéma modelu regulace glykémie
V živých organismech probíhá velmi složitý komplex chemických reakcí. Během studia těchto reakcí je nutné vědět, kam tyto reakce směřují a jak rychle probíhají.
Pro více informací o chemické kinetice, doporučuji literaturu skriptum Biokybernetiky ze seznamu použité literatury.
Uvažujeme počáteční hodnoty koncentrací a0,b0, c0 a látkovou bilanci a+c=a0+c0, b+c=b0+c0.
Reakci lze popsat rovnicemi:
Rovnice jsou nelinearni, ale pro tento typ lze řešit analyticky. Pro c0=0 plati,
Simulinkové schéma
Obr.2.14. Blokové schéma reakce druhého řádu
Většina chemických reakcí neprobíhá do konečných produtků, ale zastavuje se v určitém stacionárním stavu, kdy dochází k rovnováze mezi jednosměrnými reakcemi. Zvratný pochod lze tedy uvažovat jako dvě současně probíhající reakce.
k1 ... rychlostní konstanta přímé přeměny
k_1 ... konstanta zpětné přeměny
Reakci zle popsat rovnicemi:
(2.60)
Rovnováha nastane pro da/dt=db/dt=0.
Lineární diferenciální rovnice (2.59) a (2.60) lze řešit např. pomocí Laplaceovy transformace. Když pro jednoduchost zvolíme b0=0, dostaneme následující vztahy pro a(t) a b(t).
(2.60b)
Simulinkové schéma
Obr.2.15. Blokové schéma reakce zvratné
Často se produkt jedné reakce stává výchozí látkou další reakce. Mohou tak vzniknout složité řetězce takových reakcí. Analytické řešení lze však získat jen v nejjednodušších případech např. u reakčních schémat složených z nezvratných reakcí 1.řádu.
Tento typ lze popsat soustavou dif. rovnic 1 řádu:
Pokud zvolíme např. b0=0, c0=0. Rovnici (2.62) lze přímo integrovat
Dosazením a(t) do rovnice (2.63) získáme (např. Laplaceovou transformací)
Využitím tohoto výsledku lze integrovat i třetí diferenciální rovnici (2.64). Dostáváme tak vztah
Simulinkové schéma
Obr.2.16. Blokové schéma následné reakce
2.2.8.1.1.) Model represe enzymové syntézy
Enzymy jsou biokatalyzátory, které umožňují průběh mnoha reakcí v buňce i živých organismech. Jejich tvorba začíná v buňkách na nějaký vnější popud (např. při nutnosti zpracovat živné látky). Syntézu začíná mediátorová RNK (mRNK), jejíž složení je zakódováno v DNK. mRNK se vytvoří při nutnosti syntézy příslušného enzymu. Proces je možno regulovat dvěma způsoby:
Uvedený model popisuje první případ, kde je použito vazby dvou enzymů, které vzájemně ovlivňují svoji koncentraci (tvorbu). Reakce se dá popsat rovnicemi:
x1(t), x2(t) ... koncentrace mRNK
y1(t), y2(t) ... koncentrace enzymů (represorů)
m ... počet molekul produktu účastnících se reakce s enzymy
Simulinkové schéma
Obr.2.17. Blokové schéma modelu represe enzymové syntézy
2.2.8.1.2.) Model reakce katalyzované enzymem
Tento model představuje reakci, kdy se z nějaké výchozí látky (substrát S) vytváří cílová látka (produkt P) za spoluúčasti enzymu E. Model navrhli v r.1913 Michaelis a Mentenová. Reakci odpovídá schéma
Substrát a enzym nejprve vytvářejí vratně komplex X, který se potom nevratně rozpadá na produkt a volný enzym. Konstanty k1, k2 a k3 představují rychlostní konstanty příslušných reakcí.
Označíme-li koncentrace příslušných látek odpovídajícími malými písmeny, můžeme reakci popsat rovnicemi:
za příslušných počátečních podmínek.
Simulinkové schéma
Obr.2.18. Blokové schéma modelu enzymové reakce
2.2.8.2.) Membránový potenciál
Obecný úvod o akčním potenciálu
Elektrická aktivita buňek (živočišných) je zapříčiněna dvěma základními faktory:
Na membráně takto vzniklé napětí se pohybuje od 50 do 100 mV. Řídit ohyb iontů je hlavním úkolem membrány a při jejím selhání buňka umírá.
Důležitou veličinou při zkoumání reakce buňky na podráždění je akční potenciál (náhlá změna náboje membrány). Tato veličina je v klidovém stavu asi na -80 mV. Při změně nějaké okolní veličiny (na kterou má buňka reagovat) nebo příchodem elektrického signálu (např od sousední buňky) se však skokově změní na kladnou hodnotu (depolarizace) a poté se pomalu vrací zpátky (repolarizace). Trvá-li vstupní podnět dále, impuls se opakuje.
Způsob, jakým membrána mění potenciál spočívá ve vytvoření kanálu, jímž velmi rychle převádí ionty z jedné strany na druhou. Zde uvedené modely představují membránu nervové a svalové buňky.
2.2.8.2.1.) Akční potenciál neuronu
Akční potenciál nervové buňky je dlouhým vývojem speciálně na příjem, zpracování, uchování a přenos informace. Při příjmu vzruchu začnou podle jeho intenzity generovat celý sled impulsů, které se přes synapse dostávají k sousedním neuronům. Impuls je tvořen výše popsaným průběhem akčního potenciálu. Uvedený model navrhli v r.1952 Hodgkin a Huxley. V originální formě takto:
V ... akční potenciál
m,h,n ... stavy membránového kanálu
Gna,Gk,Gl ... vodivosti kanálu
Ena,Ek,El ... spádové intenzity v kanálu
Cm ... plošná kapacita kanálu
am,bm,ah,bh,an,bn ... změřené parametry, které jsou funkcí V
Typické hodnoty koeficientů jsou přednastaveny v modelu (soubor nm_s.m) a v inicializačním programu (soubor nm_sip.m).
Simulinkové schéma
Obr.2.19. Blokové schéma modelu akčního potenciálu nervové buňky
2.2.8.2.2.) Akční potenciál svalové buňky
Model pro chování akčního potenciálu membrány svalové buňky má podobnou strukturu jako předchozí model. Svalová buňka na rozdíl od neuronu vzruch pouze přijímá a reaguje na něj (obvykle stahem). V r.1981 navrhli tento model Morris a Lecar:
V ... akční potenciál
m,n ... stavy membránového kanálu
Gca,Gk,Gl ... vodivosti kanálu
Eca,Ek,El ... spádové intenzity v kanálu
Cm ... plošná kapacita kanálu
lm,mn,ln,nn jsou změřené parametry, které jsou funkcí V
Typické hodnoty koeficientů jsou přednastaveny v modelu (soubor sm_s.m) a v inicializačním programu (soubor sm_sip.m).
Simulinkové schéma
Obr.2.20. Blokové schéma akčního potenciálu svalové buňky
2.3.1.) Model počtu žáků ve škole
Tento model patří mezi společensko-ekonomické systémy popisující dynamiku vývoje vývoje počtu studentů v jednotlivých ročnících. Počet studentů v ročnících je určen okamžikem začátku školního roku, lze tedy uvažovat systém s diskrétním časem. Poznamenejme ještě, že tento model popisuje systém, ve kterém základní časovou "jednotkou" studia je ročník, tedy při nesložení zkoušky z předmětu je nutno opakovat celý ročník.
Matematický popis
Jako stavy považujme počty studentů v ročnících a šestý stav nechť představuje počet studentů opakujících závěrečnou zkoušku. Potom stavové rovnice budou ve tvaru:
kde
m11, m22,..., m55 ... pravděpodobnost opakování ročníku
m21, m32,..., m54 ... pravděpodobnost absolvování ročníku
m66 ... pravděpodobnost opakování závěrečné zkoušky
u=[u1 u2 u3 u4 u5],
kde
u1 je počet nově přijatých studentů
u2,...,u5 je počet studentů, kteří přestoupili z jiné školy
y=[y1 y2 y3 y4 y5 y6],
kde
y1,...,y5 ... studenti opouštějící v i-tém ročníku
y6 ... počet absolventů
c66 ... úspěšnost studenta u závěrečné zkoušky
Simulinkové schéma
Obr.2.21. Blokové schéma modelu počtu žáků ve škole
2.3.2.) Leslieho model věkových skupin
Tento model popisuje dynamiku růstu populace. Jeho podstata spočívá v rozdělení populace podle věku na skupiny. Protože v jednotlivých skupinách jsou jedinci zhruba stejného věku, lze předpokládat, že tito lidé budou mít i podobné vlastnosti a chování. Volbou délky intervalu věkového rozmezí skupiny můžeme ovlivnit "homogenitu" jednotlivých skupin, což má za následek různou přesnost výsledků modelu.
Tento model lze použít pro libovolnou populaci. Aplikuje-li se na lidstvo, je možno jej zařadit mezi socioekonomické modely, protože jednotlivé parametry modelu na socioekonomických podmínkách závisí.
Matematický model
Jednotlivé skupiny lze charakterizovat těmito parametry:
ni ... porodnost i-té skupiny
mj ... porodnost j-té skupiny
pj ... pravděpodobnost přežití v j-té skupině
Pro skupiny platí:
tedy. počet nově narozených je roven součtu narozených v jednotlivých skupinách
pro n=1,...N-1. Tedy počet jedinců v n-té skupině v čase (k+1) je dán pravděpodobností přežití jedinců v čase k v (n-1) skupině.
Celý systém můžeme zapsat lin. rovnicí:kde x je vektor, jehož jeden prvek odpovídá jedné skupině
Jsou-li vlastní čísla matice L v jednotkové kružnici (jde o diskrétní model), je model asymptoticky stabilní. Jeden krok simulace tohoto modelu odpovídá stejnému času, jako je věkové rozpětí jednotlivých skupin.
Simulinkové schéma