======= Cvičení 13 : Příklady ======= ====== Rentgenové záření ==== Popis [[http://cs.wikipedia.org/wiki/Foton|fotonu]] (spolu s jeho fyzikální charakteristikou) a Rentgenové záření naleznete v přednáškách. **Užitečné vzorce:** * energie photonu $E = hf = h \frac{c}{\lambda} \, ,$ * polotlouštka $\frac{1}{2} = \textrm{e}^{-\mu d}$ ===== Enegie fotonu I. ===== Foton o vlnové délce 100nm má energii cca 12eV, Určete energii fotonu o vlnové délce 2nm. ===== Enegie fotonu II. ===== V rentgence vzniká při dopadu elektronů o kinetické energii 10keV Rentgenovo záření. Určete vlnovou délku Rentgenova záření, vzniklého při dopadu těchto elektronů, pokud víme že pouze 1% energie se přemění na záření. ===== Stínění záření I. ===== Rentgenové záření s intenzitou $10\,\text{W/cm}^2$ prochází 10cm tkání s polotloušťkou 2cm. Určete intenzitu záření po průchodu tkání. Jaká je densita tkáně v Hounsfieldových jednotkách? O jakou tkáň se pravděpodobně jedná? ===== Stínění záření II. ===== Monochromatické Rentgenovo záření prochází materiálem typu A s měrnou polotloušťkou 10cm. Určete lineární koeficient útlumu a intenzitu záření po průchodu 30cm tohoto materiálem. Jaká bude intenzita záření pokud za tento materiál přidáme ještě materiál B o síle 10cm a polotloušťkou 3cm. ---- ====== Další příklady na procvičení ====== Následuje soubor příkladů k optice, ultrazvuku a dalším tematickým okruhům. Jednotlivé rovnice jsou k dispozici u předchozích cvičení na toto téma, případně v přednáškách. ===== Čočka I. ===== Do jaké vzdálenosti dokáže lidské oko rozlišovat dva body od sebe vzdálené 1mm? /* * vzdálenost bodů $y = 10^{-3}$m * rozlišení bodu $\tau = 0.0167{}^o$ ==== Řešení: ==== Lidské oko rozliši dva body když platí $\tau$ je nejméně $\tau = 1' = 0.0167^o$ \begin{eqnarray} \tan \tau &=& \frac{y}{x} \, , \\ x &=& \frac{y}{\tan \tau} = \frac{10^{-3}}{\tan (0.0167^o)} = 3.44 ~ \text{m} \end{eqnarray} */ ===== Čočka II. ===== Vzdálenost svíčky od stěny je 1m. V jaké vzdálenosti od svíčky (mezi svíčku a stěnu) je třeba umístnit spojnou čočku s ohniskem 9cm, aby na stěně vznikl ostrý obraz? /* * vzdálenost od stěny $d =1$m * ohnisková vzdálenost $f = 9 \cdot 10^{-2}$m ==== Řešení: ==== \begin{eqnarray} d &=& a + a' \, , \\ \frac{1}{f} &=& \frac{1}{a} + \frac{1}{a'} \, , \\ \frac{1}{f} &=& \frac{1}{a} + \frac{1}{d-a} \, , \\ a(d-a) &=& f (d-a) + f a \, , \\ 0 &=& a^2 - d a + d f = a^2 - a + 0.09 \, , \\ 0 &=& (a - 0.1) (a - 0.9) \, , \\ a_1 &=& 0.1 ~ \text{m} ~~~,~~~ a_2 = 0.9 ~ \text{m} \end{eqnarray} */ ===== Čočka III. ===== Sklenená spojná čočka má ve vzduchu ohniskovou vzdálenosť 20 cm. Jaká je ohnisková vzdálenost čočky ve vodě? /* * ohnosková vzdálenost ve vzduchu $f_0 = 0.2$m * index lomu ve vzduchu $n_0 = 1$ * index lomu ve vode $n_v = 1.33$ * index lomu ve skle $n_s = 1.5$ ==== Řešení: ==== Odvozeno ze Shnelova zákona \begin{eqnarray} \frac{1}{f_0} &=& \left(\frac{n_s}{n_0} -1\right) \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right) \, , \\ \frac{1}{f_v} &=& \left(\frac{n_s}{n_v} -1\right) \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right) \, , \\ \frac{\frac{1}{f_0}}{\frac{1}{f_v}} &=& \frac{\left(\frac{n_s}{n_0} -1\right) \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right) }{ \left(\frac{n_s}{n_v} -1\right) \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right) } \, , \\ \frac{f_v}{f_0} &=& \frac{ \frac{n_s - n_0}{n_0} }{ \frac{n_s - n_v}{n_v} } \, , \\ f_v &=& f_0 \frac{n_s - n_0}{n_0} \frac{n_v}{n_s - n_v} = 0.8 ~ \text{m} \\ \end{eqnarray} */ /* ===== Brýle ===== Dalekozraký človek může zaostřeně číst knihu ze vzdálenosti 80cm od očí. Jakou optickou mohutnost musí mít brýle, aby viděl písmo zaostřené ze vzdálenosti 25cm. * konvenční zraková vzdáleniost $d = 0.25$m * vzdáleniost od oka $a = 0.8$m ==== Řešení: ==== Otická mohutnost je definována jako převrácená hodnota ohniskové vzdálenosti $\sigma = \frac{1}{f}$ \begin{eqnarray} \sigma_0 &=& \frac{1}{a} + \frac{1}{a'} \, , \\ \sigma &=& \frac{1}{d} + \frac{1}{a'} - \Sigma_0 \, , \\ \sigma &=& \frac{1}{d} + \frac{1}{a'} - \frac{1}{a} - \frac{1}{a'} \, , \\ \sigma &=& \frac{1}{d} - \frac{1}{a} = 4 - 1.25 = 2.75 ~ \text{m}^{-1} \end{eqnarray} */ ===== Mikroskop ===== Mikroskop má zvětšení 320 a ohniskovou vzdálenost objektívu 5mm a okuláru 2,5cm. Určite vzdálenost mezi objektivem a okulárem a délku tubusu. /* * zvětšení mikroskopu $\gamma = 40$ * ohnisko objektivu $f_{ob} = 5 \cdot 10^{-3}$m * ohnisko okuláru $f_{oc} = 25 \cdot 10^{-3}$m * konvenční zraková vzdáleniost $d = 0.25$m ==== Řešení: ==== Výpočet optického intervalu \begin{eqnarray} \gamma &=& \frac{\Delta}{f_{ob}} \frac{d}{f_{oc}} \, , \\ \Delta &=& \frac{\gamma f_{ob} f_{oc}}{d} \, , \\ \Delta &=& \frac{320 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \cdot 5 \cdot 10^{-3}}{d} = 0.16 ~ \text{m} \end{eqnarray} Výpočet vzdálenost mezi objektivem a okulárem $$ l = f_{ob} + \Delta + f_{oc} = 0.19 ~ \text{m}$$ Výpočet délu tubusu $$ l = 2 f_{ob} + \Delta + 2 f_{oc} = 0.22 ~ \text{m}$$ */ ===== Šíření ve vodě ===== Na hladině moře jsou dva čluny ve vzájemné vzdálenosti 11,6 km. První vyšle zvukový signál po vodě a současně světelný signál nad vodou. Druhý člun zachytí oba signály, zvukový o 8s později jako světelný. Určetě rychlost zvuku v mořské vodě. /* * vzdálenost lodí $d = 11.6 \cdot 10^{3}$m * zpoždění zvuku $t = 8$s ==== Řešení: ==== V tom to případě uvažujeme že světlo danou vzdálenost urazí okamžitě \begin{eqnarray} d &=& v t \, , \\ v &=& \frac{d}{t} = \frac{11.6 \cdot 10^{3}}{8} = 1450~ \text{m/s} \end{eqnarray} */ ===== Měření propasti ===== Pozorovatel, který stojí na okraji propasti Macocha, spustil do ní kámen a slyšel jeho náraz na dno za 5,6 s. Určetě hloubku propasti! /* * doba pádu $t = 5.6$s * rychlost zvuku $v = 340$m/s * tíhové zrychlení $g = 9.8$m/s2 ==== Řešení: ==== Volný pád tělesa $$ h_1 = \frac{1}{2} g t_1^2 $$ a šíření zvuku $$ h_2 = v t_2 $$ celková doba je součtem doby pádu a šíření zvuku $$ t = t_1 + t_2 $$ pak řešení je \begin{eqnarray} h_1 &=& h_2 \, , \\ \frac{1}{2} g t_1^2 &=& v t_2 \, , \\ \frac{1}{2} g t_1^2 &=& v (t - t_1) \, , \\ 0 &=& 5 t_1^2 + 340 t_1 - 1904 \, , \\ t_1 &=& \frac{-340 \pm 392}{10} = 5.2 \, , \\ h &=& v (t - t_1) = 136 ~ \text{m} \end{eqnarray} */ ===== Dopplerův efekt I. ===== Mějme ultrazvuk s nosnou frekvencí 3MHz a pomocí Dopplerova efektu měříme rychlost proudění krve, která proudí ve zkoumaném místě rychlostí 2cm/s. Určete Dopplerův rozsah frekvencí (rozdíl mezi vyšší a nižší), které budeme z tohoto zkoumaného místa přijímat. Rychlost šíření ultrazvukových vln uvažujeme 1540 m/s. /* * nosná frekvence $f_0 = 3 \cdot 10^{6}$ Hz, * rychlost šíření ultrazvuku $c = 1540$ m/s, * rychlost proudění krve $v = 0.02$ m/s. ==== Řešení: ==== Z principu měření se námi vyslané ultrazvukové vlny odrazí od pohybující se krve (statický zdroj a pohybující se přijímač) nazpět do našeho přijímače (pohybující se zdroj a statický se přijímač), tak že dojde k dvojitému Dopplerovu jevu $$f = \frac{c \pm v}{c} \frac{c}{c \pm v} f_0 \, ,$$ v závislosti na směru pohybu krve (Dopplerova přijímače). Jelikož však neznáme směr pohybu, určíme maximální a minimální měřenou frekvenci \begin{eqnarray} f_{min} &=& \frac{c - v}{c + v} f_0 \, , \\ f_{max} &=& \frac{c + v}{c - v} f_0 \, , \\ \end{eqnarray} pak rozmezí měřených frekvencí je \begin{eqnarray} f_{\Delta} &=& f_{max} - f_{min} \, , \\ f_{\Delta} &=& \left(\frac{c + v}{c - v} - \frac{c - v}{c + v} \right) f_0 \, , \\ f_{\Delta} &=& \frac{4 c v}{c^2 - v^2} f_0 \, , \\ f_{\Delta} &=& \frac{4 \cdot 1540 \cdot 0.02}{1540^2 - 0.02^2} \cdot 3 \cdot 10^{6} = 155.9 ~ \text{Hz}\, . \end{eqnarray} Přijímané frekvence tedy budou $3 \text{MHz} \pm 78 \text{Hz}$. */ ===== Dopplerův efekt II. ===== Honza stojí u dálnice po níž přijíždí sanitka rychlostí 20 ms-1. Siréna sanitky vysílá stálý tón frekvence 1000Hz. Jakou frekvenci registruje Honza, pokud se sanitka přibližuje a následně pak i vzdaluje? /* * nosná frekvence $f_0 = 10^{3}$ Hz, * rychlost šíření ultrazvuku $c = 340$ m/s, * rychlost sanitky $v_s = 20$ m/s. * rychlost Honzy $v_H = 0$ m/s. ==== Řešení: ==== Sanitka se přibližuje $$ f' = f_0 \frac{c + v_H}{c - v_s} = 1062 ~ \text{Hz}$$ Sanitka se vzdaluje $$ f' = f_0 \frac{c - v_H}{c + v_s} = 945 ~ \text{Hz}$$ */ ===== Enegie fotonu ===== Rentgenka pracuje s napětím U = 20 kV, proudem I = 10 mA a účinností 0,2%. Vypočítejte a) krátkovlnnou hranici spojitého spektra, b) výkon vyzářený ve formě rentgenového záření, c) teplo odevzdané antikatodě za jednu sekundu. Co se stane, zvýší-li se napětí na $40kV$? /* * vstupní napětí $U=20 \cdot 10^{3}$ V, * vstupní proud $I=10^{-3}$ A, * účinost $\nu =2^{-3}$, * Planckova konstanta $h=6.63 \cdot 10^{-34}$ Js, * rychlost světla $c=3 \cdot 10^{8}$ ms ${}^{-1}$. ==== Řešení: ==== Spočtení příkonu rentgenky, kdy většina energie se mění na teplo $$Q = U \cdot I = 10 \cdot 20 = 200 ~ \text{Js}{}^{-1}$$ Následně pak výkon rentgenky je $$P = U \cdot I \cdot \nu = 20 \cdot 10 \cdot 0.002 = 0.4 ~ \text{W}$$ A vlnová délka vyzářených elektronů (energie předaná elektronu) bude \begin{eqnarray} e \cdot U &=& h \cdot f \\ e \cdot U &=& h \cdot \frac{c}{\lambda} \\ \lambda &=& \frac{h \cdot c}{e \cdot U} = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 20 \cdot 10^{3}} = 6.2 \cdot 10^{-11} ~ \text{m} \end{eqnarray} $P = U^2 I$ */ ===== Radioaktivita ===== Vypočtěte kolikrát se zmenší hmota radioaktivního izotopu za dobu 3 roky, jestliže za 1 rok klesne 4 krát. /* * čas útlumu $t_k=1$ rok, * poměr útlumu $k=4$, ==== Řešení: ==== Ze vzorce pro výpočet radioaktivity (rozpadu) $$N = N_0 \cdot e^{-\lambda t} ~~~\rightarrow~~~ \lambda = \frac{\ln k}{t_k} \,$$ a po vyjádření poměru intenzit $$\frac{N_0}{N} = e^{\lambda t} = e^{\frac{\ln k}{t_k} t} = e^{3 \ln 4} = 64 \, .$$ */ ===== Rozpad prvků ===== Počáteční rychlost rozpadu (tzv. aktivita) radia $Ra_{88}^{226}$ o hmotnosti 1g je 1Bq. Vypočtěte poločas rozpadu uvedeného izotopu. Molární hmotnost izotopu radia je $226 \cdot 10^{-3}$ kg/mol. /* * hmotnost prvku $m = 1 \cdot 10^{-3}$ kg, * aktivita prvku $A_0 = 1$ Bq, * mol8rn9 hmotnost $M_m=226 \cdot 10^{-3}$ kg/mol ==== Řešení: ==== Pro průběh radioaktivního rozpadu a poločas rozpadu platí $$N = N_0 \cdot e^{-\lambda t} ~~~\rightarrow~~~ \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$ Rychlost rozpadu (aktivita) je definována jako $$A = \frac{\partial N}{\partial t} = \lambda N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N_0 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}} t}$$ Pro počáteční aktivitu A0 a následně pro poločas rozpadu obdržíme \begin{eqnarray} A_0 &=& \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N_0 = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \cdot \frac{m N_A}{M_m} \\ T_{1/2} &=& \frac{\ln 2}{A_0} \cdot \frac{m N_A}{M_m} = 1582 ~ \text{let} \end{eqnarray} */ ===== PET ===== Předpokládejte, že v PET skeneru je v kruhu o průměru $r=1\,\text{m}$ rovnoměrně rozmístěno $N$ detektorů (kde $N=200$). Přesně uprostřed kruhu je umístěna radioaktivní látka. Nechť v čase $T=0$ všechny detektory dohromady registrují aktivitu $A=10^6\,\text{Bq}$ (rozpadů za sekundu). Byl-li rozpad zachycen, jaké jsou pravděpodobnosti zachycení rozpadukonkrétními dvojicemi detektorů? Pojak dlouhé době od rozpadu je rozpad zachycen detektory? Je-li fyzikální poločas rozpadu $\tau_1=10\,\text{min}$ a biologický poločas vyloučení $\tau_2=10\,\text{min}$, jaká je očekávaná aktivita v čase$T=10\,\text{min}$? Jaký je očekávaný počet rozpadů zachycený až do času $T$ všemi detektory dohromady a každou jednotlivou dvojicí? ===== Efektivní dávka ===== Mějme přístroj, který generuje Rentgenové záření s váhovým koeficientem 0.9 při použitém proudu 48mA anodou a napětí 65kV. Používaná anoda je tvořena z wolframu. Pacient byl během skiagrafického vyšetření plic o velikosti $230 \times 190 \times 260$mm a hmotnosti 780g po dobu 150ms vystaven Rentgenovu záření. Vzdálenost pacienta od rentgenky je 1400mm. Tkáňový váhový koeficient plic je 0.12. Určete efektivní dávku absorbovanou pacientem. /* * expoziční čas $t_e=0.15$ s, * proud rentgenkou $I_c=48 \cdot 10^{-3}$ A, * maximální anodové napětí $U_p=65 \cdot 10^{3}$ V, * vzdálenost pacienta od rentgenky $l=1.4$ m, * materiál anody wolfram (W), protonové číslo $Z = 74$, * váhový koeficient Rentgenova záření $w = 0.9$, * šířka pacientových plic $0.23$ m, * výška pacientových plic $0.26$ m, * hloubka pacientových plic $0.1$ m, * hmotnost plic $m=0.78$ kg, * tkáňový váhový koeficient plic $w_{ef}=0.12$. ==== Řešení: ==== Nejprve spočteme výkon záření $P$ vycházejícího z okénka rentgenky \begin{eqnarray} P&=& \frac{9}{10}\cdot 10^{-9}~U^2~I_c~Z \\ P&=& \frac{9}{10}\cdot 10^{-9}\cdot (65\cdot 10^3)^2 \cdot 48 \cdot 10^{-3}\cdot 74 = 10.693 ~ \text{W} \, , \end{eqnarray} Předpokládáme, že ohnisko rentgenky je bodový zdroj, pak veškerý výkon bude vyzářen do povrchu myšlené [[http://cs.wikipedia.org/wiki/Koule|koule]] $4 \pi l^2$. Intenzita záření na povrchu pacienta $I_p$ pak bude $$I_p=\frac{P}{4 \pi l^2} = \frac{10.693}{4 \cdot \pi \cdot 1.4^2}=0.43 ~ \text{W}/\text{m}^2 \, .$$ Pro plochu plic $230 \times 260$mm vypočítáme energii $E$ záření dopadlou na pacienta při snímání 1 snímku. $$E=I_p~S~t_e = 0.43 \cdot (0.23 \cdot 0.26) \cdot 0.150 = 3.9 ~ \text{mJ} \, .$$ Dále spočteme hodnotu absorbované dávky a efektivní dávku \begin{eqnarray} D&=&\frac{E}{m} \, ,\\ H_{ef}&=& w w_{ef} D \, ,\\ H_{ef}&=&0.9 \cdot 0.12 \cdot \frac{3.9 \cdot 10^{-3}}{0.78} = 0.54 ~ \text{mSv} . \end{eqnarray} */ ===== Výkon rentgenky ===== Pacient během skiagrafickému vyšetření plic o velikosti $230 \times 190 \times 260$mm a hmotnosti 780g po dobu 150ms absorboval efektivní dávku 0.5mSv. Určete výkon rentgenky, která generuje Rentgenovo záření s koeficientem záření 0.95, je-li pacienta od rentgenky vzdálen 1400mm. Tkáňový váhový koeficient plic je 0.12. /* * expoziční čas $t_e=0.15$ s, * vzdálenost pacienta od rentgenky $l=1.4$ m, * efektivní absorbovaná dávka $H_{ef} = 0.5 \cdot 10^{-3}$ Sv, * váhový koeficient Rentgenova záření $w = 0.95$, * šířka pacientových plic $0.23$ m, * výška pacientových plic $0.26$ m, * hloubka pacientových plic $0.1$ m, * hmotnost plic $m=0.78$ kg, * tkáňový váhový koeficient plic $w_{ef}=0.12$. ==== Řešení: ==== Nejprve spočteme dávku $$E = \frac{H_{ef} m}{w w_{ef}} = \frac{0.5 \cdot 10^{-3}}{0.95 \cdot 0.12} 0.78 = 3.4 ~ \text{mJ} \, ,$$ Při znalosti plochy plic ($230 \times 260$mm) a doby expozice může spočítat intenzitu záření $$I_p=\frac{E}{S t_e} = \frac{3.4 \cdot 10^{-3}}{(0.23 \cdot 0.26) \cdot 0.15} = 0.3814 ~ \text{W}/\text{m}^2 \, .$$ Budeme-li uvažovat že rentgenka vyzařuje záření rovnoměrně do prostoru, pak její výkon v oblasti Rentgenova záření je $$P= 4 \pi l^2 I_p = 4 \cdot \pi \cdot 1.4^2 \cdot 0.3814 = 9.39 ~ \text{W} \, .$$ */ ===== Doba rozpadu ===== Mějme radiofarmakum používané v PET s poločasem rozpadu 45min. Určete za jak dlouho se rozpadne 65\% všech izotopů tohoto radiofarmaka. /* * poločas přeměny $\tau_r=45 \cdot 60$ s, * výsledný počet prvků $N=0.35 \cdot N_0$, ==== Řešení: ==== Nejprve si přepočteme poločas rozpadu na rozpadovou konstantu $$\lambda=\frac{\ln{2}}{\tau} = \frac{\ln{2}}{45 \cdot 90} = 2.57 \cdot 10^{-4} \, $$ a pak z obecné rovnice pro rozpad určíme čas za jaký nám zůstane 35\% radiofarmaka \begin{eqnarray} N&=&N_0~\textrm{e}^{-\lambda t} \, ,\\ 0.35 \cdot N_0&=&N_0~\textrm{e}^{-\lambda t} \, ,\\ \ln(0.35)&=& -\lambda t \, ,\\ t&=& \frac{\ln(0.35)}{-\lambda} = 4.089 \cdot 10^{3} \text{s}= 1\text{hod} ~ 8\text{min} ~ 9\text{s} \, . \end{eqnarray} */ ===== Aktivita radiofarmaka ===== Mějme radiofarmakum běžně používané pro PET zobrazení s poločasem rozpadu 130min a poločasem vyloučení z těla pacienta 35min. Určete aktivitu $4\cdot 10^{-12}$ molu radiofarmaka v době podání 30min po vyrobení a na konci měření, 15min po podání pacientovi. /* * látkové množství $n=4\cdot 10^{-12}$ mol, * poločas přeměny $\tau_r=130 \cdot 60$ s, * poločas vyloučení $\tau_v=35 \cdot 60$ s, * čas podání $t_i=30 \cdot 60$ s, * čas konce měření (od podání) $t_i=15 \cdot 60$ s, * Avogadrova konstanta: $N_A = 6.023 \cdot 10^{23}$. ==== Řešení: ==== Počet vyrobených částic spočteme pomocí Avogadrovy konstanty $$N_0=n~N_A = 4\cdot 10^{-12} \cdot 6.023 \cdot 10^{23} = 2.41\cdot 10^{12} \,$$ a poločasy rozpadu si přepočteme na rozpadové konstanty: $\lambda=\frac{\ln{2}}{\tau}$\, . \begin{eqnarray} \lambda_r&=& \frac{\ln{2}}{\tau_r} = \frac{\ln{2}}{130 \cdot 60} = 8.89 \cdot 10^{-5}\, ,\\ \lambda_v&=& \frac{\ln{2}}{\tau_v} = \frac{\ln{2}}{35 \cdot 60} = 3.3 \cdot 10^{-4}\, . \end{eqnarray} Počet atomů radioizotopu podaných pacientovi bude $$N_i=N_0~\textrm{e}^{-\lambda_r t_i}=2.41 \cdot 10^{12} \cdot \textrm{e}^{-8.89 \cdot 10^{-5} 1800}=2.05 \cdot 10^{12}\, .$$ Nyní spočítáme aktivitu látky, která je definována jako změnu počtu přeměněných částic za jednotku času \begin{eqnarray} A(t)&=&N_i~\textrm{e}^{-(\lambda_r + \lambda_v) t}~\lambda_r\, ,\\ A(t_i)&=&2.05\cdot 10^{12} \cdot \textrm{e}^{-(8.89 \cdot 10^{-5} + 3.3 \cdot 10^{-4}) \cdot 0} \cdot 8.89 \cdot 10^{-5} = 183 ~ \text{MBq}\, , \\ A(t_e)&=&2.05\cdot 10^{12} \cdot \textrm{e}^{-(8.89 \cdot 10^{-5} + 3.3 \cdot 10^{-4}) \cdot 900} \cdot 8.89 \cdot 10^{-5} = 125 ~ \text{MBq}\, , \\ \end{eqnarray} */ ===== Magnetické pole - solenoid ===== Máme danou cívku s 50000 závity a délkou 10cm, určete velikost proudu tak aby magnetická indukce byla 5T. Uvažujte že se cívka nalézá ve vzduchu s relativní permeabilitou 1 a permeabilitou vakua $1.26 \mu$H/m. /* * počet závitů $N=5 \cdot 10^4$, * délka cívky $l=0.1$ m, * relativní permeabilita $\mu_r=1$, * permeabilita vákua $\mu_0=1.26 \cdot 10^{-6}$ H/m, * magnetická indukce $B=5$ T. ==== Řešení: ==== Ze vzorce pro výpočet magnetické indukce si vyjádříme proud $$B = \mu \frac{N I}{l} ~~~\rightarrow~~~ I = \frac{B l}{N \mu} \,$$ a po vyčíslení získáme $$I = \frac{5 \cdot 0.1}{5 \cdot 10^4 \cdot 1 \cdot 1.26 \cdot 10^{-6}} = 7.94 \text{A} \, .$$ */ {{tag> exercises, Optics, Rentgen, US}}